物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 95 N が前の 2 kg のブロックを引き、3 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgF = 95 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 35° 上向きに打ち出すと、140 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 35°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 25 m のがけの上から、ボールを 32 m/s、水平から 20° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 85 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 85 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

長さ 0.5 m の軽い糸につけた質量 1.2 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 8.5 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 1.2 kgr = 0.5 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 18 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.1d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 5 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 1.5 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 10 m/s で壁に当たり、17 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 10 m/sv_out = 17 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 110 N/m のばねにつけた質量 1.4 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 10 cm で振動する。つり合いの位置から 7 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 1.4 kgk = 110 N/mA = 10 cmx = 7 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

200 m/s で動く質量 10 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 2.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1200 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 10 gv = 200 m/sM = 2.5 kgk = 1200 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 8 cm の薄い収束レンズの 6 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 6 cmf = 8 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、30 m/s で遠ざかる車に向けて 35 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 10.42 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7.5) = 10.42 m

答え

s = 10.42 m

2.運動学

答え: t = 4.416 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.416 s

答え

t = 4.416 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.631 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答え

a = 3.631 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 57 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 7.357)/5 = 17.53 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(17.53 + 1.472) = 57 N

答え

T = 57 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: v₀ = 38.23 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 70°) = 38.23 m/s

答え

v₀ = 38.23 m/s

6.放物運動

答え: H = 31.11 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 32·sin 20° = 10.94 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 10.94²/(2·9.81) = 6.105 m

地面からの高さ

H = 25 + 6.105 = 31.11 m

答え

H = 31.11 m

7.円運動

答え: v_max = 24.16 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·85) = 24.16 m/s

答え

v_max = 24.16 m/s (86.98 km/h)

8.円運動

答え: T_top = 114.5 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·0.5 = 52.63 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.2·52.63/0.5 − 1.2·9.81 = 114.5 N

答え

T_top = 114.5 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 14.99 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.1·0.7071)) = 14.99 m/s

答え

v = 14.99 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: v = 6.457 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.15·2.5) = 104.2 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.125) = 6.457 m/s

答え

v = 6.457 m/s

11.運動量と衝突

答え: v = 149.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1.5)·0.9905/0.01 = 149.6 m/s

答え

v = 149.6 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 8.1 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(17 + 10) = 8.1 N·s

答え

J = 8.1 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.633 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(110/1.4) = 8.864 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 8.864·√(0.1² − 0.07²) = 0.633 m/s

答え

v = 0.633 m/s

14.ばねと振り子

答え: A = 3.644 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.01·200/2.51 = 0.7968 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(1200/2.51) = 21.87 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7968/21.87 = 0.03644 m = 3.644 cm

答え

A = 3.644 cm

15.波・音・光学

答え: d_i = −24 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/6

d_i = −24 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −24 cm

16.波・音・光学

答え: f″ = 29370 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 35000·(343 − 30)/343 = 31939 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 30) = 29370 Hz

答え

f″ = 29370 Hz

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