物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2.5 m/s² で一様に加速する。1300 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2.5 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 3 s の間、一定の上向きの加速度 30 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 30 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 45° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 23 m/s、水平から 40° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 50 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 50 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.2 kg のボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgr = 0.9 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 110 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.8 である。停止距離 d を求めよ。

v = 110 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg の台車が、半径 2 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 8 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 10 kgh = 8 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 2 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 9 m/s で走る質量 1300 kg の自動車が、北向きに 17 m/s で走る質量 1100 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1300 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 17 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 3 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 30 N/m のばねにつけた質量 0.2 kg の物体を、つり合いの位置から 2 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 0.2 kgk = 30 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

300 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 25 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 532 nm の光が、0.3 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。中央の明線から 1 番目の明線までの距離 y₁ を求めてください。

λ = 532 nmd = 0.3 mmL = 2.5 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.運動学

答え: v = 80.62 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2.5·1300) = 80.62 m/s

答え

v = 80.62 m/s

(290.2 km/h)

2.運動学

答え: h_max = 547.8 m

動力飛行段階

v₁ = 30·3 = 90 m/s

h₁ = ½·30·3² = 135 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 90²/(2·9.81) = 412.8 m

h_max = 135 + 412.8 = 547.8 m

答え

h_max = 547.8 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.937 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答え

a = 6.937 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 41.4 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 16.68)/14.5 = 2.909 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·2.909 + 16.68 = 41.4 N

答え

T = 41.4 N

5.放物運動

答え: H = 6.167 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 30° = 19.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 30° = 11 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

答え

H = 6.167 m

6.放物運動

答え: H = 31.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 23·sin 40° = 14.78 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 14.78²/(2·9.81) = 11.14 m

地面からの高さ

H = 20 + 11.14 = 31.14 m

答え

H = 31.14 m

7.円運動

答え: v_max = 19.81 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·50) = 19.81 m/s

答え

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.円運動

答え: T = 11.35 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·6.5²/0.9 = 1.962 + 9.389 = 11.35 N

答え

T = 11.35 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 59.48 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.8·9.81) = 59.48 m

答え

d = 59.48 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: N = 294.3 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 4) = 78.48 m²/s²

最高点での力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·78.48/2 − 98.1 = 294.3 N

答え

N = 294.3 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 1.143 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2 − 1.5)/(2 + 1.5)·8 = 1.143 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1.5)·8 = 9.143 m/s

答え

v′₁ = 1.143 m/s

12.運動量と衝突

答え: v′ = 9.191 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1300·9 = 11700 kg·m/s

p_y = 1100·17 = 18700 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 22059/2400 = 9.191 m/s

答え

v′ = 9.191 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.475 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

答え

T = 3.475 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 3 m/s²

角周波数

ω = √(30/0.2) = 12.25 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.02·12.25² = 3 m/s²

答え

a_max = 3 m/s²

15.波・音・光学

答え: f′ = 279.6 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 279.6 Hz

答え

f′ = 279.6 Hz

16.波・音・光学

答え: y₁ = 4.433 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2.5/(0.3 × 10⁻³) = 4.433 mm

1 番目の縞

y₁ = 1·4.433 = 4.433 mm

答え

y₁ = 4.433 mm

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