物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 3.5 m/s² で一様に加速する。900 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1 m/s² で 6 s 加速し、次に 24 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 6 st₂ = 24 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 20° 上向きに打ち出すと、20 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 20°R = 20 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 35°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

自動車が、半径 40 m の円弧になっている道路の盛り上がりの頂上を通過する。g = 9.81 m/s² とする。どの速さ v_max を超えると、頂上で車輪が路面から離れるか。

r = 40 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.6 kg のボールを長さ 1.1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 3 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.6 kgr = 1.1 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 1 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 50° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 1 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

35° の斜面の下端にあるばね定数 1000 N/m のばねを、質量 5 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 5 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 14 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 14 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 60 N/m のばねにつけた質量 0.9 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 14 cm で振動する。つり合いの位置から 5 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 0.9 kgk = 60 N/mA = 14 cmx = 5 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 2.8 s、振幅 10 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 7 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 2.8 sA = 10 cmx = 7 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、30° を超えるすべての入射角で、空気（n = 1.00）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 30°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 200 本の線があります。波長 633 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 200 mm⁻¹λ = 633 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: v = 79.37 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·900) = 79.37 m/s

答え

v = 79.37 m/s

(285.7 km/h)

2.運動学

答え: s = 168 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·6 = 6 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·1·6² = 18 m

s₂ = 6·24 = 144 m

s₃ = 6²/(2·3) = 6 m

全距離

s = 18 + 144 + 6 = 168 m

答え

s = 168 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.972 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答え

a = 1.972 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 21.8 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/9 = 5.45 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·5.45 + 0 = 21.8 N

答え

T = 21.8 N

5.放物運動

答え: v₀ = 17.47 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·20/sin 40°) = 17.47 m/s

答え

v₀ = 17.47 m/s

6.放物運動

答え: t = 4.755 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 35° = 21.3 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 35° = 14.91 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 14.91·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.91 + √(222.4 + 784.8))/9.81 = 4.755 s

答え

t = 4.755 s

7.円運動

答え: v_max = 19.81 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

垂直抗力 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·40) = 19.81 m/s

答え

v_max = 19.81 m/s

(71.31 km/h)

8.円運動

答え: T = 10.8 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·3²/1.1 = 5.886 + 4.909 = 10.8 N

答え

T = 10.8 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 16.82 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 50°) = 7.009 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·7.009/1 = 16.82 N

答え

T = 16.82 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 16.82 N。

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.311 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·1000·0.15² = 11.25 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11.25/(49.05·(0.5736 + 0.2·0.8192)) = 0.311 m

答え

d = 0.311 m

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 3.429 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·4 = −0.5714 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·4 = 3.429 m/s

答え

v′₂ = 3.429 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 12 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(10 + 14) = 12 N·s

答え

J = 12 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 1.068 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(60/0.9) = 8.165 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 8.165·√(0.14² − 0.05²) = 1.068 m/s

答え

v = 1.068 m/s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.3455 s

角周波数

ω = 2π/T = 2π/2.8 = 2.244 rad/s

時間について解く

0.7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.7) = 0.7754 rad

t = 0.7754/2.244 = 0.3455 s

答え

t = 0.3455 s

15.波・音・光学

答え: n₁ = 2

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.5 = 2

答え

n₁ = 2

16.波・音・光学

答え: m_max = 7

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/200 mm = 5 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 5 µm/0.633 µm = 7.899 → m_max = 7

答え

m_max = 7

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