物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 25 kg のそりを、水平から 30° 上向きのロープで、80 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 25 kgF = 80 Nθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 9 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 9 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 30 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 1.8 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の回転数 n を毎分回転数で求めよ。

r = 1.8 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.円運動むずかしい

質量 3.5 kg の台車を、摩擦のない軌道上の高さ 41 m から静かに放し、半径 10 m の鉛直なループを通過させる。g = 9.81 m/s² とする。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N_top を求めよ。

m = 3.5 kgh = 41 mR = 10 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 14 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.1d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 1.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 4.5 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 5 kgh = 4.5 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

20 m/s で動いている質量 1900 kg の自動車が、静止している質量 1300 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1900 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 5 g の弾丸を、長さ 0.6 m の軽い糸でつり下げた質量 4 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 35° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 4 kgL = 0.6 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 2.7 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 2.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 200 N/m のばねにつけた質量 3.2 kg の物体を、つり合いの位置から 4 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 3.2 kgk = 200 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

1000 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、30 m/s で遠ざかる車に向けて 40 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 37.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37.5 m

答え

s = 37.5 m

2.運動学

答え: t = 1.792 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.792 s

答え

t = 1.792 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 0.7188 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 80·sin 30° = 205.3 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 69.28 − 51.31

a = 17.97/25 = 0.7188 m/s²

答え

a = 0.7188 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.334 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 17.66)/12.5 = 1.334 m/s²

答え

a = 1.334 m/s²

5.放物運動

答え: t = 1.848 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 65° = 4.226 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 65° = 9.063 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·9.063/9.81 = 1.848 s

答え

t = 1.848 s

6.放物運動

答え: x = 28.23 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 55° = 7.456 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 55° = 10.65 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 10.65·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.65 + √(113.4 + 588.6))/9.81 = 3.786 s

水平距離

x = v_x·t = 7.456·3.786 = 28.23 m

答え

x = 28.23 m

7.円運動

答え: n = 40.7 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·1.8)) = 4.262 rad/s

回転数

n = ω·60/(2π) = 40.7 rpm

答え

n = 40.7 rpm

8.円運動

答え: N_top = 109.9 N

エネルギー保存からの速さ

v² = 2·9.81·(41 − 2·10) = 412 m²/s²

力

中心に向かう向きを正とします。

N = m·v²/R − m·g = 3.5·412/10 − 34.34 = 109.9 N

答え

N_top = 109.9 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 13.22 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.7071 − 0.1·0.7071)) = 13.22 m/s

答え

v = 13.22 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: N = 49.05 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.5 − 3) = 29.43 m²/s²

最高点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·29.43/1.5 − 49.05 = 49.05 N

答え

N = 49.05 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 154375 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·20/3200 = 11.88 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1900·20² = 380000 J

K_after = ½·3200·11.88² = 225625 J

失われたエネルギー

ΔK = 380000 − 225625 = 154375 J

答え

ΔK = 154375 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: v = 1169 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 35°) = 0.1085 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1085) = 1.459 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 4.005·1.459/0.005 = 1169 m/s

答え

v = 1169 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.296 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(2.7/9.81) = 3.296 s

答え

T = 3.296 s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.3162 m/s

角周波数

ω = √(200/3.2) = 7.906 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.04·7.906 = 0.3162 m/s

答え

v_max = 0.3162 m/s

15.波・音・光学

答え: f′ = 1062 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 1062 Hz

答え

f′ = 1062 Hz

16.波・音・光学

答え: f_b = 6434 Hz

車での振動数

f′ = 40000·(343 − 30)/343 = 36501 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 30) = 33566 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 6434 Hz

答え

f_b = 6434 Hz

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