物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 8 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2 s の間、一定の上向きの加速度 28 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 28 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 85 N が前の 6 kg のブロックを引き、8 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgF = 85 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 36 m/s で打ち出し、85 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 36 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 60 m のがけの上から、ボールを 17 m/s、水平から 50° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 105 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 105 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.2 kg のボールを長さ 1.2 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 5.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.2 kgr = 1.2 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.2 kg の小球が長さ 1 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 90° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgL = 1 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 10 kgh = 1 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

17 m/s で動いている質量 1600 kg の自動車が、静止している質量 1500 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。元の運動エネルギーの何パーセント ΔK/K が失われるか。

m₁ = 1600 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 11 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

k = 20 N/m のばねにつけた質量 4 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 19 cm で振動する。つり合いの位置から 10 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 4 kgk = 20 N/mA = 19 cmx = 10 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

200 m/s で動く質量 20 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 4 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 2000 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 20 gv = 200 m/sM = 4 kgk = 2000 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 440 Hz の音源に向かって 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 50 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 5 cm、レンズ 2 は f₂ = 5 cm です。物体はレンズ 1 の 15 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 5 cmf₂ = 5 cms = 50 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.125 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/8 = 3.125 s

答え

t = 3.125 s

2.運動学

答え: h_max = 215.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

動力飛行段階

v₁ = 28·2 = 56 m/s

h₁ = ½·28·2² = 56 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 56²/(2·9.81) = 159.8 m

h_max = 56 + 159.8 = 215.8 m

答え

h_max = 215.8 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答え

a = 4.051 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 48.57 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (85 − 20.6)/14 = 4.6 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(4.6 + 1.472) = 48.57 N

答え

T = 48.57 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: θ = 20.02 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/36² = 0.6434

位相角

2θ = 40.05° → θ = 20.02°

答え

θ = 20.02°

もう 1 つの解は 90° − θ = 69.98° です。

6.放物運動

答え: H = 68.64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 17·sin 50° = 13.02 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 13.02²/(2·9.81) = 8.644 m

地面からの高さ

H = 60 + 8.644 = 68.64 m

答え

H = 68.64 m

7.円運動

答え: v_max = 20.3 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·105) = 20.3 m/s

答え

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.円運動

答え: T = 42.02 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·5.5²/1.2 = 11.77 + 30.25 = 42.02 N

答え

T = 42.02 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 5.886 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 90°) = 19.62 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·19.62/1 = 5.886 N

答え

T = 5.886 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.886 N。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 3.132 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(1 − 0.2·2.5) = 49.05 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.5) = 3.132 m/s

答え

v = 3.132 m/s

11.運動量と衝突

答え: ΔK/K = 48.39 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·17/3100 = 8.774 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1600·17² = 231200 J

K_after = ½·3100·8.774² = 119329 J

失われた割合

ΔK/K = 111871/231200 = 48.39 %

答え

ΔK/K = 48.39 %

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 180 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(19 + 11) = 9 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 9/0.05 = 180 N

答え

F_avg = 180 N

13.ばねと振り子

答え: v = 0.3612 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(20/4) = 2.236 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 2.236·√(0.19² − 0.1²) = 0.3612 m/s

答え

v = 0.3612 m/s

14.ばねと振り子

答え: A = 4.461 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.02·200/4.02 = 0.995 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/4.02) = 22.3 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.995/22.3 = 0.04461 m = 4.461 cm

答え

A = 4.461 cm

15.波・音・光学

答え: f′ = 465.7 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 20)/(343 − 0)

f′ = 465.7 Hz

答え

f′ = 465.7 Hz

16.波・音・光学

答え: d_i2 = 5.667 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/5 − 1/15 → d_i1 = 7.5 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 50 − 7.5 = 42.5 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/5 − 1/42.5 → d_i2 = 5.667 cm

答え

d_i2 = 5.667 cm

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