物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 11 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

道路技術者は、自動車が摩擦に頼らずに半径 250 m のカーブを 90 km/h で通過できるようにしたい。g = 9.81 m/s² とする。バンク角 θ を求めよ。

r = 250 mv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.円運動むずかしい

小さな台車を摩擦のない軌道上で静かに放し、半径 0.5 m の鉛直なループに進入させる。ループの最高点で軌道から離れないためには、ループの最下点から最低どれだけの高さ h_min から出発しなければならないか。

R = 0.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 6 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.35d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.25）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 3 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 1 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0.25d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 1300 kg の自動車が、駐車中の質量 1800 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 6.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1800 kgd = 6.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 330 N/m のばねにつけた質量 2 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 14 cm で振動する。つり合いの位置から 12 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 2 kgk = 330 N/mA = 14 cmx = 12 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 70 N/m のばねにつけた質量 2.9 kg の物体を、つり合いの位置から 9 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 2.9 kgk = 70 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 1000 Hz の音源から遠ざかるように 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

0.1 mm 離れた 2 本のスリットに単色光を当てます。2 m 先のスクリーンで、5 番目の明線は中央の縞から 50 mm の位置にあります。波長 λ を求めてください。

d = 0.1 mmL = 2 my₅ = 50 mmm = 5

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: s = 37.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37.5 m

答え

s = 37.5 m

2.運動学

答え: t = 4.189 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.189 s

答え

t = 4.189 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.427 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答え

a = 4.427 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 9.197 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 7.357)/4 = 0.6131 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·0.6131 + 7.357 = 9.197 N

答え

T = 9.197 N

5.放物運動

答え: H = 4.406 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 25° = 9.298 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.298²/(2·9.81) = 4.406 m

答え

H = 4.406 m

6.放物運動

答え: x = 42.77 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 20° = 11.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 20° = 4.104 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 4.104·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.104 + √(16.84 + 1079))/9.81 = 3.793 s

水平距離

x = v_x·t = 11.28·3.793 = 42.77 m

答え

x = 42.77 m

7.円運動

答え: θ = 14.3 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

単位

v = 90/3.6 = 25 m/s

バンク角

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(250·9.81) = 0.2548

θ = 14.3°

答え

θ = 14.3°

8.円運動

答え: h_min = 1.25 m

最高点での条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

エネルギー保存

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·0.5 = 1.25 m

答え

h_min = 1.25 m

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 31.56 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.766 = 15.03 N

F = μN = 0.35·15.03 = 5.26 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 5.26·6 = 31.56 J

答え

W_f = 31.56 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 0.8687 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 29.43·1 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.25·98.1·1 = 24.53 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 4.905 → v = √(2·4.905/13) = 0.8687 m/s

答え

v = 0.8687 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −0.5333 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·8 = −0.5333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·8 = 7.467 m/s

答え

v′₁ = −0.5333 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 19.04 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·6.5) = 7.985 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·7.985/1300 = 19.04 m/s

答え

v₁ = 19.04 m/s

(68.55 km/h)

13.ばねと振り子

答え: v = 0.9263 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(330/2) = 12.85 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 12.85·√(0.14² − 0.12²) = 0.9263 m/s

答え

v = 0.9263 m/s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.4422 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(70/2.9) = 4.913 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.09·4.913 = 0.4422 m/s

答え

v_max = 0.4422 m/s

15.波・音・光学

答え: f′ = 970.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 970.8 Hz

答え

f′ = 970.8 Hz

16.波・音・光学

答え: λ = 500 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = y·d/(mL) = 0.05·0.0001/(5·2) = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm

答え

λ = 500 nm

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