物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 1.5 m/s² で一様に加速する。1700 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 17 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 17 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 75 N が前の 11 kg のブロックを引き、8 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 11 kgF = 75 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 40 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 40 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 1.2 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 1.2 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1500 kg の自動車が 6° の坂を一定の 36 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 250 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1500 kgθ = 6°F_r = 250 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 2000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 5 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.3 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 5 cmθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

質量 15 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 18 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 1 kgh = 18 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 14 m/s で壁に当たり、6 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 14 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 3 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

100 m/s で動く質量 10 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 1 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1800 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 10 gv = 100 m/sM = 1 kgk = 1800 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 12 cm の薄い収束レンズの 30 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 30 cmf = 12 cm

m =

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.62、クラッドは n₂ = 1.6 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.62n₂ = 1.6n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: v = 71.41 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·1.5·1700) = 71.41 m/s

答え

v = 71.41 m/s

(257.1 km/h)

2.運動学

答え: t = 4.607 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.607 s

答え

t = 4.607 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.055 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答え

a = 4.055 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.985 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 37.28)/19 = 1.985 m/s²

答え

a = 1.985 m/s²

5.放物運動

答え: x = 25.3 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 65° = 7.607 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 65° = 16.31 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·16.31/9.81 = 3.326 s

水平距離

x = v_x·t = 7.607·3.326 = 25.3 m

答え

x = 25.3 m

6.放物運動

答え: x = 56.96 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 40° = 15.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 40° = 12.86 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 12.86·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.86 + √(165.3 + 392.4))/9.81 = 3.718 s

水平距離

x = v_x·t = 15.32·3.718 = 56.96 m

答え

x = 56.96 m

7.円運動

答え: v_max = 10.85 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·40) = 10.85 m/s

答え

v_max = 10.85 m/s (39.06 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 3.431 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.2) = 3.431 m/s

答え

v_min = 3.431 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: P = 17.88 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 6° = 1538 N

F = 1538 + 250 = 1788 N

電力

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1788·10 = 17881 W = 17.88 kW

答え

P = 17.88 kW

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.9291 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·2000·0.05² = 2.5 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 2.5/(4.905·(0.2588 + 0.3·0.9659)) = 0.9291 m

答え

d = 0.9291 m

11.運動量と衝突

答え: v = 127.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.18) = 1.879 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 1)·1.879/0.015 = 127.2 m/s

答え

v = 127.2 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 150 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(6 + 14) = 3 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 3/0.02 = 150 N

答え

F_avg = 150 N

13.ばねと振り子

答え: L = 2.236 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答え

L = 2.236 m

14.ばねと振り子

答え: A = 2.345 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.01·100/1.01 = 0.9901 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/1.01) = 42.22 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.9901/42.22 = 0.02345 m = 2.345 cm

答え

A = 2.345 cm

15.波・音・光学

答え: m = −0.6667

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/30

d_i = 20 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −20/30 = −0.6667

答え

m = −0.6667

16.波・音・光学

答え: θ_a = 14.7 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.6/1.62 = 0.9877 → θc = 80.99°

開口数

NA = √(1.62² − 1.6²) = 0.2538

受光角

θ_a = arcsin(0.2538) = 14.7°

答え

θ_a = 14.7°

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