物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 32 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 32 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2.5 s の間、一定の上向きの加速度 30 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち上げから地面に落ちるまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

a = 30 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 15 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 15 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 25 N が前の 6 kg のブロックを引き、5 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgF = 25 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 50 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 35 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 35 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 210 m のカーブに 20° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 210 mθ = 20°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 0.8 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 40° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 0.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 3 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 7.8 m から静かに放される。ループの最高点での台車の速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 7.8 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 15 g の弾丸を、長さ 1.4 m の軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 25° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 2 kgL = 1.4 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 2.9 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 460 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 2.9 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 2.9 kgk = 460 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦の長さは 1.2 m で、その上を波が 200 m/s で伝わります。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 200 m/sn = 5L = 1.2 m

f₅ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、1 ミリメートルあたり 200 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 200 mm⁻¹λ = 500 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 25.6 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/2.5 = 25.6 s

答え

t = 25.6 s

その瞬間、パトカーは 2v = 64 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 18.95 s

動力飛行段階

v₁ = 30·2.5 = 75 m/s

h₁ = ½·30·2.5² = 93.75 m

地面までの自由飛行

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² を正の解について解きます。

t₂ = (75 + √(75² + 2·9.81·93.75))/9.81 = 16.45 s

t = 2.5 + 16.45 = 18.95 s

答え

t = 18.95 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.368 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答え

a = 2.368 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.8012 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (25 − 16.19)/11 = 0.8012 m/s²

答え

a = 0.8012 m/s²

5.放物運動

答え: x = 8.828 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 30° = 8.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 30° = 5 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·5/9.81 = 1.019 s

水平距離

x = v_x·t = 8.66·1.019 = 8.828 m

答え

x = 8.828 m

6.放物運動

答え: x = 164.9 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 30° = 30.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 30° = 17.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 50 + 17.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.5 + √(306.2 + 981))/9.81 = 5.441 s

水平距離

x = v_x·t = 30.31·5.441 = 164.9 m

答え

x = 164.9 m

7.円運動

答え: v_max = 13.1 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·35) = 13.1 m/s

答え

v_max = 13.1 m/s (47.17 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 37.3 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(210·9.81·0.5769/0.8542) = 37.3 m/s

答え

v_max = 37.3 m/s

(134.3 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: T = 14.4 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 40°) = 3.672 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·3.672/0.8 = 14.4 N

答え

T = 14.4 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 14.4 N。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.943 m/s

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.8 − 6) = 35.32 m²/s²

v = 5.943 m/s

答え

v = 5.943 m/s

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 13.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 0.5)/(1.5 + 0.5)·9 = 4.5 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 0.5)·9 = 13.5 m/s

答え

v′₂ = 13.5 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 215.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.4·(1 − cos 25°) = 0.1312 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1312) = 1.604 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.015·1.604/0.015 = 215.5 m/s

答え

v = 215.5 m/s

13.ばねと振り子

答え: L = 2.09 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答え

L = 2.09 m

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.7789 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 2.9·9.81/460 = 0.06185 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(460/2.9) = 12.59 rad/s

v_max = A·ω = 0.06185·12.59 = 0.7789 m/s

答え

v_max = 0.7789 m/s

15.波・音・光学

答え: f₅ = 416.7 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.2/5 = 0.48 m

振動数

f = v/λ = 200/0.48 = 416.7 Hz

答え

f₅ = 416.7 Hz

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 5.739 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·500 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.1

θ = 5.739°

答え

θ₁ = 5.739°

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