物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 5 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 5 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 14 kg のブロックが、水平と 40° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 14 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 55° 上向きに打ち出すと、80 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 55°R = 80 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 50 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

自動車が、半径 65 m の円弧になっている道路の盛り上がりの頂上を通過する。g = 9.81 m/s² とする。どの速さ v_max を超えると、頂上で車輪が路面から離れるか。

r = 65 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 200 m のカーブに 18° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 200 mθ = 18°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg のブロックが水平と 20° をなす斜面を 20 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.15d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 1 mL = 3 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 1800 kg の自動車が、駐車中の質量 1000 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 10 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.7 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1000 kgd = 10 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.9 m の単振り子の小さな振れの周期が 6.8 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.9 mT = 6.8 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

k = 390 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 2.3 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。ばねの最大の伸び x_max を cm で求めよ。

m = 2.3 kgk = 390 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 600 Hz の音源に向かって 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 486 nm の光が、1 ミリメートルあたり 800 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 800 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 51.44 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·7.5) = 51.44 m

答え

s = 51.44 m

2.運動学

答え: h_max = 41.27 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9.81) = 1.274 m

地面からの高さ

h_max = 40 + 1.274 = 41.27 m

答え

h_max = 41.27 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.306 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答え

a = 6.306 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 27.11 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 8.584)/9.5 = 5.292 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·5.292 + 8.584 = 27.11 N

答え

T = 27.11 N

5.放物運動

答え: v₀ = 28.9 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·80/sin 110°) = 28.9 m/s

答え

v₀ = 28.9 m/s

6.放物運動

答え: x = 61.46 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 30° = 14.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 30° = 8.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 50 + 8.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.5 + √(72.25 + 981))/9.81 = 4.175 s

水平距離

x = v_x·t = 14.72·4.175 = 61.46 m

答え

x = 61.46 m

7.円運動

答え: v_max = 25.25 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

垂直抗力 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·65) = 25.25 m/s

答え

v_max = 25.25 m/s

(90.91 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 33.19 m/s

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(200·9.81·0.4992/0.8893) = 33.19 m/s

答え

v_max = 33.19 m/s

(119.5 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 138.3 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9397 = 46.09 N

F = μN = 0.15·46.09 = 6.914 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 6.914·20 = 138.3 J

答え

W_f = 138.3 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 3.285 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(1 − 0.15·3) = 26.98 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.55) = 3.285 m/s

答え

v = 3.285 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −1 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·7 = −1 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·7 = 6 m/s

答え

v′₁ = −1 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 18.23 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·10) = 11.72 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·11.72/1800 = 18.23 m/s

答え

v₁ = 18.23 m/s

(65.63 km/h)

13.ばねと振り子

答え: g = 1.622 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/6.8² = 1.622 m/s²

答え

g = 1.622 m/s²

14.ばねと振り子

答え: x_max = 11.57 cm

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 2.3·9.81/390 = 0.05785 m = A

最下点

x_max = 2A = 0.1157 m = 11.57 cm

答え

x_max = 11.57 cm

15.波・音・光学

答え: f′ = 617.5 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 10)/(343 − 0)

f′ = 617.5 Hz

答え

f′ = 617.5 Hz

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 22.88 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.3888

θ = 22.88°

答え

θ₁ = 22.88°

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