物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 27 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2.5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 27 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 2.9 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 2.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 11 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 50 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 50 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.2 kg のボールを長さ 0.8 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgr = 0.8 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 70 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.7 である。停止距離 d を求めよ。

v = 70 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 15 kg のブロックが 25° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 120 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.15 である。ブロックが斜面を 6 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 15 kgF = 120 Nθ = 25°μ = 0.15d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 10 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1.5 kgh = 10 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 30 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 30 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 270 N/m のばねにつけた質量 1.1 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 4 cm で振動する。つり合いの位置から 2 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 1.1 kgk = 270 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 470 N/m のばねにつけた質量 2 kg の物体を、つり合いの位置から 19 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 2 kgk = 470 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦は、180 m/s で波が伝わる中で、第 5 倍音が 300 Hz になる必要があります。その長さ L を求めてください。

v = 180 m/sn = 5f₅ = 300 Hz

L = m

16.波・音・光学むずかしい

波長 650 nm の光が、幅 0.12 mm の単スリットを通ります。3 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 650 nma = 0.12 mmL = 3 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 583.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/2.5 = 21.6 s

距離

d = v·t = 27·21.6 = 583.2 m

答え

d = 583.2 m

その瞬間、パトカーは 2v = 54 m/s で走っています。

2.運動学

答え: d = 38.15 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 994.7 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·994.7))/(2·4.905) = 2.789 s

深さ

d = ½·9.81·2.789² = 38.15 m

答え

d = 38.15 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 0.5897 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答え

a = 0.5897 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 27.75 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 5.886)/10.5 = 3.644 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·3.644 + 5.886 = 27.75 N

答え

T = 27.75 N

5.放物運動

答え: x = 79.45 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25.98 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·25.98/9.81 = 5.297 s

水平距離

x = v_x·t = 15·5.297 = 79.45 m

答え

x = 79.45 m

6.放物運動

答え: x = 18.26 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 55° = 6.309 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 55° = 9.011 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 9.011·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.011 + √(81.19 + 294.3))/9.81 = 2.894 s

水平距離

x = v_x·t = 6.309·2.894 = 18.26 m

答え

x = 18.26 m

7.円運動

答え: v_max = 14.01 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·50) = 14.01 m/s

答え

v_max = 14.01 m/s (50.43 km/h)

8.円運動

答え: T = 10.96 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·6²/0.8 = 1.962 + 9 = 10.96 N

答え

T = 10.96 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 27.53 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.7·9.81) = 27.53 m

答え

d = 27.53 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.5 m/s

斜面に沿った力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 62.19 N

μ·mg·cos θ = 20 N

仕事とエネルギー

½mv² = (120 − 82.19)·6 = 226.8 J

v = √(2·226.8/15) = 5.5 m/s

答え

v = 5.5 m/s

11.運動量と衝突

答え: v = 421.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.1) = 1.401 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1.5)·1.401/0.005 = 421.6 m/s

答え

v = 421.6 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 16.1 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(16 + 30) = 16.1 N·s

答え

J = 16.1 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.5427 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(270/1.1) = 15.67 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 15.67·√(0.04² − 0.02²) = 0.5427 m/s

答え

v = 0.5427 m/s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 2.913 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(470/2) = 15.33 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.19·15.33 = 2.913 m/s

答え

v_max = 2.913 m/s

15.波・音・光学

答え: L = 1.5 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 180/300 = 0.6 m

長さ

L = nλ/2 = 5·0.6/2 = 1.5 m

答え

L = 1.5 m

16.波・音・光学

答え: w = 32.5 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·3/(0.12 × 10⁻³) = 16.25 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 32.5 mm

答え

w = 32.5 mm

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