物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1.5 m/s² で 6 s 加速し、次に 16 s 等速で走り、最後に 2.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 6 st₂ = 16 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 10 m/s、水平から 70° 上向きに、5 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 10 m/sθ = 70°x = 5 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

質量 1400 kg の自動車が、道路の盛り上がりの頂上を 11 m/s で通過する。盛り上がりの頂上は半径 65 m の円弧である。g = 9.81 m/s² とする。頂上で路面が自動車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 1400 kgv = 11 m/sr = 65 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.円運動むずかしい

質量 3 kg の台車を、摩擦のない軌道上の高さ 49 m から静かに放し、半径 10 m の鉛直なループを通過させる。g = 9.81 m/s² とする。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N_top を求めよ。

m = 3 kgh = 49 mR = 10 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 10 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 30°μ = 0.1d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 15 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 15 m/sv_out = 10 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 140 N/m のばねにつけた質量 0.3 kg のおもりを正の向きに 8 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.55 s での速度 v を符号をつけて求めよ。

m = 0.3 kgk = 140 N/mA = 8 cmt = 0.55 s

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 220 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 0.7 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。ばねの最大の伸び x_max を cm で求めよ。

m = 0.7 kgk = 220 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 65 dB になります。同一の機械 5 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 65 dBn = 5

β = dB

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 10 cm の凸面鏡の 40 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 40 cmR = 10 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: s = 13.78 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7) = 13.78 m

答え

s = 13.78 m

2.運動学

答え: s = 187.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·6 = 9 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·1.5·6² = 27 m

s₂ = 9·16 = 144 m

s₃ = 9²/(2·2.5) = 16.2 m

全距離

s = 27 + 144 + 16.2 = 187.2 m

答え

s = 187.2 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.972 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答え

a = 1.972 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 7.32 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 1.472)/6.5 = 7.32 m/s²

答え

a = 7.32 m/s²

5.放物運動

答え: y = 3.255 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 10·cos 70° = 3.42 m/s

t = x/v_x = 5/3.42 = 1.462 s

その時刻での高さ

y = 9.397·1.462 − ½·9.81·1.462² = 3.255 m

答え

y = 3.255 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: x = 30.35 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 45° = 7.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 45° = 7.071 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 7.071·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.071 + √(50 + 1177))/9.81 = 4.292 s

水平距離

x = v_x·t = 7.071·4.292 = 30.35 m

答え

x = 30.35 m

7.円運動

答え: N = 11128 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での力

中心に向かう向き（下向き）を正とします。

m·g − N = m·v²/r

N = 1400·9.81 − 1400·11²/65 = 13734 − 2606 = 11128 N

答え

N = 11128 N

自動車は軽くなったように感じます：路面はその重さより小さい力で押し上げます。

8.円運動

答え: N_top = 141.3 N

エネルギー保存からの速さ

v² = 2·9.81·(49 − 2·10) = 569 m²/s²

力

中心に向かう向きを正とします。

N = m·v²/R − m·g = 3·569/10 − 29.43 = 141.3 N

答え

N_top = 141.3 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 9.006 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.5 − 0.1·0.866)) = 9.006 m/s

答え

v = 9.006 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 34.5 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.15·3) = 89.27 J

最大縮み

½kx² = 89.27 → x = √(2·89.27/1500) = 0.345 m = 34.5 cm

答え

x = 34.5 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 4.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 5)/(2.5 + 5)·7 = −2.333 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 5)·7 = 4.667 m/s

答え

v′₂ = 4.667 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 11.25 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(10 + 15) = 11.25 N·s

答え

J = 11.25 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 1.093 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(140/0.3) = 21.6 rad/s

ω·t = 21.6·0.55 = 11.88 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.08·21.6·sin(11.88) = 1.093 m/s

答え

v = 1.093 m/s

14.ばねと振り子

答え: x_max = 6.243 cm

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 0.7·9.81/220 = 0.03121 m = A

最下点

x_max = 2A = 0.06243 m = 6.243 cm

答え

x_max = 6.243 cm

15.波・音・光学

答え: β = 71.99 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 5·I₁

レベル

β = 65 + 10·log₁₀(5) = 71.99 dB

答え

β = 71.99 dB

16.波・音・光学

答え: m = 0.1111

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = −R/2 = −5 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/40

d_i = −4.444 cm

倍率

m = −(−4.444)/40 = 0.1111

答え

m = 0.1111

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics