物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.1 s で、その後、自動車は一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 54 km/ht_r = 1.1 sa = −7 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 7 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 7 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 9 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、35° の斜面を速さ 11.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 11.5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 36 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 40 m のがけの上から、ボールを 14 m/s、水平から 40° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 60 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 60 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.3 kg のボールを長さ 0.7 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.3 kgr = 0.7 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 13 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.3d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 2 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 19 m/s で走る質量 1000 kg の自動車が、北向きに 25 m/s で走る質量 1800 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 1000 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 25 m/s (N)

θ = °

13.ばねと振り子ふつう

k = 90 N/m のばねにつけた質量 3.1 kg のおもりを正の向きに 9 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.9 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 3.1 kgk = 90 N/mA = 9 cmt = 0.9 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

350 m/s で動く質量 15 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 1.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 100 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 15 gv = 350 m/sM = 1.5 kgk = 100 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 10 cm の薄い発散レンズの 4 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 4 cmf = −10 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、20 m/s で近づいてくる車に向けて 20 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 32.57 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 15·1.1 = 16.5 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·7) = 16.07 m

合計

d = 16.5 + 16.07 = 32.57 m

答え

d = 32.57 m

2.運動学

答え: t = 3.478 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.478 s

答え

t = 3.478 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.257 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答え

a = 3.257 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 8.66 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·7.636) = 8.66 m

答え

d = 8.66 m

5.放物運動

答え: H = 44.32 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 55° = 20.65 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 55° = 29.49 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 29.49²/(2·9.81) = 44.32 m

答え

H = 44.32 m

6.放物運動

答え: H = 44.13 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 14·sin 40° = 8.999 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 8.999²/(2·9.81) = 4.128 m

地面からの高さ

H = 40 + 4.128 = 44.13 m

答え

H = 44.13 m

7.円運動

答え: v_max = 17.16 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·60) = 17.16 m/s

答え

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.円運動

答え: T = 91.22 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·6.5²/0.7 = 12.75 + 78.46 = 91.22 N

答え

T = 91.22 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 11.24 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 11.24 m/s

答え

v = 11.24 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 27.16 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(5 − 0.2·1.5) = 184.4 J

最大縮み

½kx² = 184.4 → x = √(2·184.4/5000) = 0.2716 m = 27.16 cm

答え

x = 27.16 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 2 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·3 = −1 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·3 = 2 m/s

答え

v′₂ = 2 m/s

12.運動量と衝突

答え: θ = 67.11 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1000·19 = 19000 kg·m/s

p_y = 1800·25 = 45000 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 2.368 → θ = 67.11°

答え

θ = 67.11°

13.ばねと振り子

答え: x = 1.229 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(90/3.1) = 5.388 rad/s

ω·t = 5.388·0.9 = 4.849 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(4.849) = 1.229 cm

答え

x = 1.229 cm

14.ばねと振り子

答え: A = 42.65 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.015·350/1.515 = 3.465 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(100/1.515) = 8.124 rad/s

振幅

A = V/ω = 3.465/8.124 = 0.4265 m = 42.65 cm

答え

A = 42.65 cm

15.波・音・光学

答え: d_i = −2.857 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/4

d_i = −2.857 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −2.857 cm

16.波・音・光学

答え: f_b = 2477 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 20000·(343 + 20)/343 = 21166 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 20) = 22477 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 2477 Hz

答え

f_b = 2477 Hz

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