物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦
vmax = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子
T = 2π·√(m/k)
単振り子
T = 2π·√(L/g)
角周波数
ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
エネルギー
E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
a = ?s = 2300 m

飛行機が離陸するには 250 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 2300 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 250 km/hs = 2300 m
a = m/s²
2.運動学むずかしい
t (s)v (m/s)5 s

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 5 s 加速し、次に 25 s 等速で走り、最後に 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a1 = 2.5 m/s²t1 = 5 st2 = 25 sa3 = −3.5 m/s²
s = m
3.ニュートンの法則ふつう
θ = 30°a = ?m = 2 kg

質量 2 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.ニュートンの法則むずかしい
m1​ = 4.5 kg2 kg摩擦なし

水平な机の上にある質量 4.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。 机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。 糸の張力 T を求めよ。

m1 = 4.5 kgm2 = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.放物運動ふつう
v0​ = 40 m/sθ = ?R = 50 m

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、50 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.放物運動むずかしい
h = 20 mv0​ = 34 m/s40°x = ?

ボールを 高さ 20 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v0 = 34 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.円運動ふつう
L = 1.8 m35°

長さ 1.8 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 35° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 1.8 mθ = 35°g = 9.81 m/s²
T = s
8.円運動むずかしい
r = 0.9 mv = ?

ボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ vmin を求めよ。

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²
vmin = m/s
9.仕事とエネルギーふつう
50 km/h

水平な道路を 50 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.4 である。停止距離 d を求めよ。

v = 50 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²
d = m
10.仕事とエネルギーむずかしい
k = 500 N/m15°μ = 0.10.5 kg

15° の斜面の下端にあるばね定数 500 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 5 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 500 N/mx = 5 cmθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
d = m
11.運動量と衝突ふつう
1300 kg6 m/s900 kg

6 m/s で動いている質量 1300 kg の自動車が、静止している質量 900 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。 衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m1 = 1300 kgv1 = 6 m/sm2 = 900 kgv2 = 0
ΔK = J
12.運動量と衝突むずかしい
18 m/s12 m/s

質量 0.25 kg のボールが 18 m/s で壁に当たり、12 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。 壁がボールに及ぼす平均の力 Favg を求めよ。

m = 0.25 kgvin = 18 m/svout = 12 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
13.ばねと振り子ふつう
0.3 kgk = 320 N/mA = 12 cmx = 6 cm

k = 320 N/m のばねにつけた質量 0.3 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 12 cm で振動する。つり合いの位置から 6 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 0.3 kgk = 320 N/mA = 12 cmx = 6 cm
v = m/s
14.ばねと振り子むずかしい
3.9 kgk = 30 N/mA = 14 cm

k = 30 N/m のばねにつけた質量 3.9 kg の物体を、つり合いの位置から 14 cm 引いて静かに放す。 最大の速さ vmax を求めよ。

m = 3.9 kgk = 30 N/mA = 14 cm
vmax = m/s
15.波・音・光学ふつう
S15 m/sO20 m/sf = 1000 Hz

15 m/s で動く 1000 Hz の音源と、20 m/s で動く観測者が、互いに近づいています。 音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/svs = 15 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
16.波・音・光学むずかしい
λ = ?9.2°

1 ミリメートルあたり 100 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 3 の極大が、直進方向から 9.2° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 100 mm⁻¹θ3 = 9.2°m = 3
λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.048 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·2300) = 1.048 m/s²

答え

a = 1.048 m/s²
2.運動学

答え: s = 366.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 2.5·5 = 12.5 m/s

各段階の距離

s1 = ½·2.5·5² = 31.25 m
s2 = 12.5·25 = 312.5 m
s3 = 12.5²/(2·3.5) = 22.32 m

全距離

s = 31.25 + 312.5 + 22.32 = 366.1 m

答え

s = 366.1 m
3.ニュートンの法則

答え: a = 3.631 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答え

a = 3.631 m/s²
4.ニュートンの法則

答え: T = 13.58 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (19.62 − 0)/6.5 = 3.018 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 4.5·3.018 + 0 = 13.58 N

答え

T = 13.58 N
5.放物運動

答え: θ = 8.926 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/40² = 0.3066

位相角

2θ = 17.85° → θ = 8.926°

答え

θ = 8.926°

もう 1 つの解は 90° − θ = 81.07° です。

6.放物運動

答え: x = 136.3 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 34·cos 40° = 26.05 m/s
vy = v0·sin θ = 34·sin 40° = 21.85 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 21.85·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (21.85 + √(477.6 + 392.4))/9.81 = 5.235 s

水平距離

x = vx·t = 26.05·5.235 = 136.3 m

答え

x = 136.3 m
7.円運動

答え: T = 2.436 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.8·sin 35° = 1.032 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.032·9.81·tan 35°) = 2.663 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·1.032/2.663 = 2.436 s

答え

T = 2.436 s
8.円運動

答え: vmin = 2.971 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答え

vmin = 2.971 m/s
9.仕事とエネルギー

答え: d = 24.58 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.4·9.81) = 24.58 m

答え

d = 24.58 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.3585 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m
½kx² = ½·500·0.05² = 0.625 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 0.625/(4.905·(0.2588 + 0.1·0.9659)) = 0.3585 m

答え

d = 0.3585 m
11.運動量と衝突

答え: ΔK = 9573 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1300·6/2200 = 3.545 m/s

衝突前後の運動エネルギー

Kbefore = ½·1300·6² = 23400 J
Kafter = ½·2200·3.545² = 13827 J

失われたエネルギー

ΔK = 23400 − 13827 = 9573 J

答え

ΔK = 9573 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: Favg = 750 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(12 + 18) = 7.5 N·s

平均の力

Favg = J/Δt = 7.5/0.01 = 750 N

答え

Favg = 750 N
13.ばねと振り子

答え: v = 3.394 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(320/0.3) = 32.66 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 32.66·√(0.12² − 0.06²) = 3.394 m/s

答え

v = 3.394 m/s
14.ばねと振り子

答え: vmax = 0.3883 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(30/3.9) = 2.774 rad/s

最大の速さ

vmax = A·ω = 0.14·2.774 = 0.3883 m/s

答え

vmax = 0.3883 m/s
15.波・音・光学

答え: f′ = 1107 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 1000·(343 + 20)/(343 − 15)
f′ = 1107 Hz

答え

f′ = 1107 Hz
16.波・音・光学

答え: λ = 532.9 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 1 × 10⁻⁵·sin 9.2°/3 = 532.9 nm

答え

λ = 532.9 nm

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