物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている車が、一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 80 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 7 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 7 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、15° の斜面を速さ 11 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 11 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 35 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 75 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 75 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 100 m のカーブに 18° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 100 mθ = 18°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 10 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 3.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 25 m/s で走る質量 1900 kg の自動車が、北向きに 25 m/s で走る質量 1500 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 1900 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 25 m/s (N)

θ = °

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.9 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 2.3 s、振幅 19 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 5.7 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 2.3 sA = 19 cmx = 5.7 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.5 m です。音速は 343 m/s です。その第 2 倍音の振動数 f₂ を求めてください。

v = 343 m/sn = 2L = 0.5 m

f₂ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、幅 0.15 mm の単スリットを通ります。1 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 589 nma = 0.15 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.419 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/6.5 = 3.419 s

答え

t = 3.419 s

2.運動学

答え: t = 3.081 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.081 s

答え

t = 3.081 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.923 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答え

a = 1.923 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 11.24 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·5.382) = 11.24 m

答え

d = 11.24 m

5.放物運動

答え: H = 15.09 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17.21 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 17.21²/(2·9.81) = 15.09 m

答え

H = 15.09 m

6.放物運動

答え: t = 3.969 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 55° = 7.456 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 55° = 10.65 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 35 + 10.65·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.65 + √(113.4 + 686.7))/9.81 = 3.969 s

答え

t = 3.969 s

7.円運動

答え: v_max = 21.01 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·75) = 21.01 m/s

答え

v_max = 21.01 m/s (75.64 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 4.72 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(100·9.81·0.0237/1.044) = 4.72 m/s

答え

v_min = 4.72 m/s

(16.99 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: h = 10.19 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 5/0.4905 = 10.19 m

答え

h = 10.19 m

10.仕事とエネルギー

答え: x = 47.43 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.1·2) = 168.7 J

最大縮み

½kx² = 168.7 → x = √(2·168.7/1500) = 0.4743 m = 47.43 cm

答え

x = 47.43 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 2.75 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 3.5)/(0.5 + 3.5)·11 = −8.25 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 3.5)·11 = 2.75 m/s

答え

v′₂ = 2.75 m/s

12.運動量と衝突

答え: θ = 38.29 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1900·25 = 47500 kg·m/s

p_y = 1500·25 = 37500 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 0.7895 → θ = 38.29°

答え

θ = 38.29°

13.ばねと振り子

答え: T = 2.765 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

答え

T = 2.765 s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.1115 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/2.3 = 2.732 rad/s

時間について解く

0.3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.3) = 0.3047 rad

t = 0.3047/2.732 = 0.1115 s

答え

t = 0.1115 s

15.波・音・光学

答え: f₂ = 686 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.5/2 = 0.5 m

振動数

f = v/λ = 343/0.5 = 686 Hz

答え

f₂ = 686 Hz

16.波・音・光学

答え: w = 7.853 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3.927 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 7.853 mm

答え

w = 7.853 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics