物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 11 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 11 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s、水平から 65° 上向きに、68 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 38 m/sθ = 65°x = 68 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 10 m のがけの上から、ボールを 14 m/s、水平から 35° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 35°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 115 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 115 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 1.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 800 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 800 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

25° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 2 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 2 kgk = 3000 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 3.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 27 m/s で壁に当たり、12 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 27 m/sv_out = 12 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.4 m の単振り子の小さな振れの周期が 3.86 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.4 mT = 3.86 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

k = 290 N/m のばねにつけた質量 3.7 kg の物体を、つり合いの位置から 10 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 3.7 kgk = 290 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦の長さは 0.75 m で、その上を波が 180 m/s で伝わります。その第 2 倍音の振動数 f₂ を求めてください。

v = 180 m/sn = 2L = 0.75 m

f₂ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 633 nm の光が、1 ミリメートルあたり 200 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.75 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/4 = 3.75 s

答え

t = 3.75 s

2.運動学

答え: t = 2.63 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.63 s

答え

t = 2.63 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.356 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答え

a = 2.356 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.559 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 10.3)/8.5 = 4.559 m/s²

答え

a = 4.559 m/s²

5.放物運動

答え: y = 57.89 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 38·cos 65° = 16.06 m/s

t = x/v_x = 68/16.06 = 4.234 s

その時刻での高さ

y = 34.44·4.234 − ½·9.81·4.234² = 57.89 m

答え

y = 57.89 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: H = 13.29 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 14·sin 35° = 8.03 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 8.03²/(2·9.81) = 3.287 m

地面からの高さ

H = 10 + 3.287 = 13.29 m

答え

H = 13.29 m

7.円運動

答え: v_max = 21.24 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·115) = 21.24 m/s

答え

v_max = 21.24 m/s (76.47 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 3.836 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答え

v_min = 3.836 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: h = 5.219 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·800·0.08² = 2.56 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 2.56/0.4905 = 5.219 m

答え

h = 5.219 m

10.仕事とエネルギー

答え: d = 1.696 m

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·3000·0.12² = 21.6 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 21.6/(19.62·(0.4226 + 0.25·0.9063)) = 1.696 m

答え

d = 1.696 m

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 3.529 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 3.5)/(5 + 3.5)·3 = 0.5294 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3.5)·3 = 3.529 m/s

答え

v′₂ = 3.529 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 5.85 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(12 + 27) = 5.85 N·s

答え

J = 5.85 N·s

13.ばねと振り子

答え: g = 3.709 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.4/3.86² = 3.709 m/s²

答え

g = 3.709 m/s²

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.8853 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(290/3.7) = 8.853 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.1·8.853 = 0.8853 m/s

答え

v_max = 0.8853 m/s

15.波・音・光学

答え: f₂ = 240 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.75/2 = 0.75 m

振動数

f = v/λ = 180/0.75 = 240 Hz

答え

f₂ = 240 Hz

16.波・音・光学

答え: θ₂ = 14.67 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·633 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.2532

θ = 14.67°

答え

θ₂ = 14.67°

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