物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1 s の間、一定の上向きの加速度 34 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 34 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 45 kg の箱を、水平と 15° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 45 kgθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、15° の斜面を速さ 5.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 5.5 m/sθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 20 m/s、水平から 50° 上向きに、28 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 20 m/sθ = 50°x = 28 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 30 m のがけの上から、ボールを 30 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 115 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 115 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.8 kg のボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.8 kgr = 0.9 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 110 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.4 である。停止距離 d を求めよ。

v = 110 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.15）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 3 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 0.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.15d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 10 g の弾丸を、長さ 1.7 m の軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 30° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 1.5 kgL = 1.7 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.7 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 120 N/m のばねにつけた質量 2.5 kg の物体を、つり合いの位置から 15 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 2.5 kgk = 120 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

1200 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 30 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、20 m/s で遠ざかる車に向けて 20 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 112.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112.5 m

答え

s = 112.5 m

2.運動学

答え: h_max = 75.92 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

動力飛行段階

v₁ = 34·1 = 34 m/s

h₁ = ½·34·1² = 17 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 34²/(2·9.81) = 58.92 m

h_max = 17 + 58.92 = 75.92 m

答え

h_max = 75.92 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 178.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 114.3 + 63.96 = 178.2 N

答え

F = 178.2 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 4.338 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 15° + 0.1·cos 15°) = 3.487 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·3.487) = 4.338 m

答え

d = 4.338 m

5.放物運動

答え: y = 10.1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 20·cos 50° = 12.86 m/s

t = x/v_x = 28/12.86 = 2.178 s

その時刻での高さ

y = 15.32·2.178 − ½·9.81·2.178² = 10.1 m

答え

y = 10.1 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: H = 60.78 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 30·sin 55° = 24.57 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 24.57²/(2·9.81) = 30.78 m

地面からの高さ

H = 30 + 30.78 = 60.78 m

答え

H = 60.78 m

7.円運動

答え: v_max = 28.1 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·115) = 28.1 m/s

答え

v_max = 28.1 m/s (101.2 km/h)

8.円運動

答え: T = 67.66 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·5²/0.9 = 17.66 + 50 = 67.66 N

答え

T = 67.66 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 119 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.4·9.81) = 119 m

答え

d = 119 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 1.267 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 29.43·0.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.15·78.48·0.5 = 5.886 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 8.829 → v = √(2·8.829/11) = 1.267 m/s

答え

v = 1.267 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −3.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 1)/(0.5 + 1)·11 = −3.667 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1)·11 = 7.333 m/s

答え

v′₁ = −3.667 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v = 319.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 30°) = 0.2278 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.2278) = 2.114 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.51·2.114/0.01 = 319.2 m/s

答え

v = 319.2 m/s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.7181 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

答え

L = 0.7181 m

14.ばねと振り子

答え: a_max = 7.2 m/s²

角周波数

ω = √(120/2.5) = 6.928 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.15·6.928² = 7.2 m/s²

答え

a_max = 7.2 m/s²

15.波・音・光学

答え: f′ = 1103 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 0)/(343 + 30)

f′ = 1103 Hz

答え

f′ = 1103 Hz

16.波・音・光学

答え: f_b = 2204 Hz

車での振動数

f′ = 20000·(343 − 20)/343 = 18834 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 20) = 17796 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 2204 Hz

答え

f_b = 2204 Hz

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