物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 200 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 1200 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 18 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 18 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 10 m/s ですべり、13 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 10 m/sd = 13 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、25° の斜面を速さ 8 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 8 m/sθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 25° 上向きに打ち出すと、50 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 25°R = 50 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 35 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 60 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 60 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

長さ 0.7 m の軽い糸につけた質量 0.8 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 7.5 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 0.8 kgr = 0.7 mv_bottom = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。斜面に沿って 11 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 30°μ = 0.35d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 4 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

20 m/s で動いている質量 1700 kg の自動車が、静止している質量 1500 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1700 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 17 m/s で壁に当たり、7 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 17 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

k = 270 N/m のばねにつけた質量 2.4 kg のおもりを正の向きに 7 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.65 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 2.4 kgk = 270 N/mA = 7 cmt = 0.65 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

k = 280 N/m のばねにつけた質量 3.8 kg の物体を、つり合いの位置から 19 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 3.8 kgk = 280 N/mA = 19 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管は、第 5 倍音が 858 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 858 Hz

L = m

16.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、25 m/s で近づいてくる車に向けて 20 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.286 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 200/3.6 = 55.56 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 55.56²/(2·1200) = 1.286 m/s²

答え

a = 1.286 m/s²

2.運動学

答え: t = 4.563 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.563 s

答え

t = 4.563 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.3921

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·13) = 3.846 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.846/9.81 = 0.3921

答え

μ = 0.3921

4.ニュートンの法則

答え: d = 5.402 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 25° + 0.2·cos 25°) = 5.924 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·5.924) = 5.402 m

答え

d = 5.402 m

5.放物運動

答え: v₀ = 25.3 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·50/sin 50°) = 25.3 m/s

答え

v₀ = 25.3 m/s

6.放物運動

答え: x = 100.3 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 55° = 16.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 55° = 23.76 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 35 + 23.76·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.76 + √(564.3 + 686.7))/9.81 = 6.027 s

水平距離

x = v_x·t = 16.63·6.027 = 100.3 m

答え

x = 100.3 m

7.円運動

答え: v_max = 17.16 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·60) = 17.16 m/s

答え

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.円運動

答え: T_top = 25.05 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 7.5² − 4·9.81·0.7 = 28.78 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.8·28.78/0.7 − 0.8·9.81 = 25.05 N

答え

T_top = 25.05 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 6.519 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.5 − 0.35·0.866)) = 6.519 m/s

答え

v = 6.519 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 60.15 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(4 − 0.3·3.5) = 144.7 J

最大縮み

½kx² = 144.7 → x = √(2·144.7/800) = 0.6015 m = 60.15 cm

答え

x = 60.15 cm

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 159375 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·20/3200 = 10.63 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1700·20² = 340000 J

K_after = ½·3200·10.63² = 180625 J

失われたエネルギー

ΔK = 340000 − 180625 = 159375 J

答え

ΔK = 159375 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 384 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(7 + 17) = 9.6 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 9.6/0.025 = 384 N

答え

F_avg = 384 N

13.ばねと振り子

答え: x = 5.733 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(270/2.4) = 10.61 rad/s

ω·t = 10.61·0.65 = 6.894 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(6.894) = 5.733 cm

答え

x = 5.733 cm

14.ばねと振り子

答え: E = 5.054 J

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(280/3.8) = 8.584 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·280·0.19² = 5.054 J

答え

E = 5.054 J

15.波・音・光学

答え: L = 0.4997 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/858 = 0.3998 m

長さ

L = nλ/4 = 5·0.3998/4 = 0.4997 m

答え

L = 0.4997 m

16.波・音・光学

答え: f″ = 23145 Hz

車での振動数

f′ = 20000·(343 + 25)/343 = 21458 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 25) = 23145 Hz

答え

f″ = 23145 Hz

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