物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が −10 µC と −5 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 5 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = −5 µCr = 5 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

電子が 1.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 4 cm、極板間の電場は 2400 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。

v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2400 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

タイマーが t = 0 に、5 V の電源から抵抗を通して充電されていないコンデンサの充電を始める。コンデンサの電圧が 3.16 V に達したとき、開始からちょうど 1000 ms 後に作動しなければならない。 R = 22 kΩ のとき、必要な静電容量 C を求めよ。

V_s = 5 VV_th = 3.16 VT = 1000 msR = 22 kΩ

C = µF

7.磁場と電磁誘導ふつう

4 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 20 A と 8 A の電流が流れています。両者のちょうど中間の点 P での磁束密度の大きさ B を求めてください。

I₁ = 20 AI₂ = 8 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.磁場と電磁誘導むずかしい

50 巻き、12 cm × 25 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.3 T の一様な磁場の中で 600 rpm で回転します。起電力の実効値 E_rms を求めてください。

N = 50A = 12 cm × 25 cmB = 0.3 Tn = 600 rpm

E_rms = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。回路の共振周波数 f₀ を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 202.3 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (−10 + −5)/2 = −7.5 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(7.5 × 10⁻⁶)²/0.05² = 202.3 N

答え

F = 202.3 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: y = 1.501 mm

極板間にいる時間

t = L/v₀ = 0.04/1.5 × 10⁷ = 2.667 × 10⁻⁹ s

横方向の加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2400/9.109 × 10⁻³¹ = 4.221 × 10¹⁴ m/s²

たわみ

y = ½·a·t² = ½·4.221 × 10¹⁴·(2.667 × 10⁻⁹)² = 0.001501 m = 1.501 mm

答え

y = 1.501 mm

電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 1.99 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 20 + 3 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 15·23/(15+23) = 9.079 Ω

R_eq = R₁ + 9.079 = 6 + 9.079 = 15.08 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15.08 = 1.99 A

答え

I_R1 = 1.99 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.3128 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 12 + 12 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 10.91 Ω

R₃ + 10.91 = 18.91 Ω

R₂ ∥ 18.91 = 8.365 Ω

R_eq = R₁ + 8.365 = 30 + 8.365 = 38.36 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/38.36 = 0.3128 A

答え

I_R1 = 0.3128 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.09556 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0.1915 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.1915·(1 − e^−1/1.447) = 0.09556 A

答え

i = 0.09556 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: C = 45.47 µF

必要な時定数

3.16 = 5·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(5/(5 − 3.16))

τ = 1000/0.9997 = 1000 ms

静電容量

kΩ × µF でミリ秒になります。

C = τ/R = 1000/22 = 45.47 µF

答え

C = 45.47 µF

7.磁場と電磁誘導

答え: B = 120 µT

電流がつくる磁場：長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になり（右手の法則）、B = μ₀I/(2πr) です。N 巻きの平らな円形コイルの中心では B = μ₀NI/(2R) です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によらず B = μ₀nI、n = N/L は 1 メートルあたりの巻き数です。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。SI 単位（メートルとアンペア）で計算し、複数の源による磁場はベクトルとして足します。

P での各導線の磁場

B₁ = 2 × 10⁻⁷·20/0.02 = 200 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·8/0.02 = 80 µT

組み合わせる

B = |B₁ − B₂| = 120 µT

答え

B = 120 µT

8.磁場と電磁誘導

答え: E_rms = 19.99 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

角速度と面積

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

A = 0.03 m²

ピーク起電力

E₀ = NBAω = 50·0.3·0.03·62.83 = 28.27 V

実効値

E_rms = 28.27/√2 = 19.99 V

答え

E_rms = 19.99 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 29.79 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (17.17)²) = 34.57 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(17.17/30) = 29.79°

答え

φ = 29.79°

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: f₀ = 71.18 Hz

共振

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·100·10⁻⁶)) = 71.18 Hz

答え

f₀ = 71.18 Hz

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