クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
2 つの同じ小さな金属球が +10 µC と +2 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 40 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = +2 µCr = 40 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
それぞれ質量 3 g の 2 つの同じ小球が、長さ 80 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 5° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 3 gL = 80 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 ΩR5 = 4 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 t = 75 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 20 VR1 = 3.3 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µFt = 75 ms
vC = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 5 V に充電されている。 t = 1000 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 12 VR = 4.7 kΩC = 220 µFvC(0) = 5 Vt = 1000 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
正方形のループが右へ動き、紙面の奥向き の一様な磁場のある領域に入ります。ループが磁場に入っている間の、図で見たループの誘導電流の向きをクリックしてください。
B: 紙面の奥向き磁場に入っている途中
- 1時計回り
- 2反時計回り
8.磁場と電磁誘導むずかしい
50 巻きの短いコイルが、800 巻き、長さ 20 cm、直径 3 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。両者の相互インダクタンス M を求めてください。
N1 = 800N2 = 50l = 20 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF
P = W
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、120 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 500 HzR1 = 15 ΩR2 = 100 ΩC = 4.7 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 2.023 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触後の電荷
q′ = (10 + 2)/2 = 6 µC
新しい力
F = 8.99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0.4² = 2.023 N
答え
F = 2.023 N
両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。
2.クーロンの法則と電場
答え: q = 74.63 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
つり合いからの電気力
張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。
F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 5° = 0.002575 N
間隔
r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 5° = 0.1394 m
電荷
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1394·√(0.002575/8.99 × 10⁹) = 7.463 × 10⁻⁸ C = 74.63 nC
答え
q = 74.63 nC
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.322 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3.81 Ω
Req = R1 + 3.81 = 3 + 3.81 = 6.81 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/6.81 = 1.322 A
答え
IR1 = 1.322 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.06626 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 2.4 Ω
R3 + 2.4 = 5.4 Ω
R2 ∥ 5.4 = 4.252 Ω
Req = R1 + 4.252 = 15 + 4.252 = 19.25 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/19.25 = 0.3117 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.3117·15 = 1.325 V
IR2 = VA/R2 = 1.325/20 = 0.06626 A
答え
IR2 = 0.06626 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 5.396 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·10/(3.3 + 10) = 2.481 kΩ
vC(∞) = 20·10/(3.3 + 10) = 15.04 V
時定数
τ = Rth·C = 2.481·68 = 168.7 ms
充電曲線
vC(t) = 15.04·(1 − e−75/168.7) = 5.396 V
答え
vC = 5.396 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 9.339 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 12 + (5 − 12)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(1000) = 12 + (−7)·e−1000/1034 = 9.339 V
答え
vC = 9.339 V
7.磁場と電磁誘導
答え: 反時計回り
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
磁束の変化
紙面の奥向きの磁束が増えるか、紙面の手前向きの磁束が減ります。
誘導電流がつくる磁場
誘導電流は変化を妨げます。
ループ内側の誘導磁場：紙面の手前向き。
電流の向き
右手の法則：反時計回りの電流は、ループの内側に紙面の手前向きの磁場をつくります。
反時計回り
答え
反時計回り
8.磁場と電磁誘導
答え: M = 177.7 µH
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
相互インダクタンス
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·50·0.0007069/0.2 = 177.7 µH
答え
M = 177.7 µH
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: P = 14.66 W
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 62.83 Ω, XC = 7.958 Ω
インピーダンス
|Z| = √(20² + (54.87)²) = 58.41 Ω
有効電力
コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。
I = 50/58.41 = 0.8561 A
P = I²·R = 0.8561²·20 = 14.66 W
答え
P = 14.66 W
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 1.827 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 31.44 − j46.43 Ω
合成インピーダンス
Z = 15 + 31.44 − j46.43 = 46.44 − j46.43 Ω
|Z| = √(46.44² + 46.43²) = 65.67 Ω
電流
I = V/|Z| = 120/65.67 = 1.827 A
答え
I = 1.827 A
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