クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+8 µC の電荷と +1 µC の電荷が 40 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 24 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +8 µCq2 = +1 µCr1 = 24 cmr2 = 16 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+5 µC と −5 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 6 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +5 µCq2 = −5 µCd = 10 cmh = 6 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。
Vs = 20 VR1 = 4.7 kΩR2 = 3.3 kΩC = 33 µF
τ = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
R2 の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R2 を短絡する。 t = 5 ms でのコイルの電流 i を求めよ。
Vs = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 47 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
7.磁場と電磁誘導ふつう
Α粒子 が、1.5 T の一様な磁場の中で円運動をしています。1 周にかかる時間 T を求めてください。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CB = 1.5 T
T = ns
8.磁場と電磁誘導むずかしい
空芯の長いソレノイドの巻き数は 1000、長さは 10 cm、直径は 3 cm です。その自己インダクタンス L を求めてください。
N = 1000l = 10 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、50 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 40 ΩR2 = 150 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 897439 N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.24² = 1.249 × 10⁶ N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0.16² = 351172 N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |1.249 × 10⁶ − 351172| = 897439 N/C
答え
E = 897439 N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 9.435 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(5² + 6²) = 7.81 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.0781² = 7.369 × 10⁶ N/C
成分
二等分線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(a/r) = 2·7.369 × 10⁶·0.6402 = 9.435 × 10⁶ N/C
答え
E = 9.435 × 10⁶ N/C
電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 2.769 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 10 + 10 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω
Req = R1 + 6.667 = 2 + 6.667 = 8.667 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 24/8.667 = 2.769 A
答え
IR1 = 2.769 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 2.305 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 30 + 6 = 36 Ω
R4 ∥ 36 = 9 Ω
R3 + 9 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 1.81 Ω
Req = R1 + 1.81 = 6 + 1.81 = 7.81 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 18/7.81 = 2.305 A
答え
IR1 = 2.305 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: τ = 63.98 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·3.3/(4.7 + 3.3) = 1.939 kΩ
vC(∞) = 20·3.3/(4.7 + 3.3) = 8.25 V
時定数
τ = Rth·C = 1.939·33 = 63.98 ms
答え
τ = 63.98 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: i = 0.2749 A
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。
i(0) = 6/(20 + 47) = 0.08955 A
i(∞) = 6/20 = 0.3 A
τ = L/R = 47/20 = 2.35 ms
i(t) = 0.3 + (0.08955 − 0.3)·e−t/τ
指定時刻の電流
i(5) = 0.3 + (−0.2104)·e−5/2.35 = 0.2749 A
答え
i = 0.2749 A
7.磁場と電磁誘導
答え: T = 86.87 ns
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
円運動の周期
速い粒子はより大きな円を描くので、1 周にかかる時間は変わりません。
T = 2πm/(|q|B) = 2π·6.645 × 10⁻²⁷/(3.204 × 10⁻¹⁹·1.5) = 86.87 ns
答え
T = 86.87 ns
速さは必要ありません：サイクロトロンが 1 つの固定された周波数を使えるのはこのためです。
8.磁場と電磁誘導
答え: L = 8.883 mH
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
断面
A = π·(0.015)² = 0.0007069 m²
自己インダクタンス
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0.0007069/0.1 = 0.008883 H = 8.883 mH
答え
L = 8.883 mH
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 84.86 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (556)²) = 558.2 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(556/50) = 84.86°
答え
φ = 84.86°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 172.7 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 122.7 − j57.84 Ω
合成インピーダンス
Z = 40 + 122.7 − j57.84 = 162.7 − j57.84 Ω
|Z| = √(162.7² + 57.84²) = 172.7 Ω
答え
|Z| = 172.7 Ω
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