物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++6 µC++5 µCE = 030 cm

+6 µC と +5 µC の電荷が 30 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+6 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。

q1 = +6 µCq2 = +5 µCd = 30 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+−P2 × 8 cm6 cm+6 µC−6 µC

+6 µC と −6 µC の電荷が 16 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 6 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = −6 µCd = 16 cmh = 6 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​10 ΩB

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​10 ΩBR6​25 Ω

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 ΩR5 = 20 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
R = 10 Ωt = 0L150 mHi(t)

コイルには 1.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 25 ms における電流 i を求めよ。

i(0) = 1.5 AR = 10 ΩL = 150 mHt = 25 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 5 V に充電されている。 t = 750 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 15 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 5 Vt = 750 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
+v = 5 × 10⁶ m/sr = 12.96 cmB = ?

5 × 10⁶ m/s で動く Α粒子 が、一様な磁場に直角に入り、半径 12.96 cm の円運動をします。磁束密度 B を求めてください。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sr = 12.96 cm
B = T
8.磁場と電磁誘導むずかしい
l = 15 cmN = 200, ⌀ 2.5 cm

空芯の長いソレノイドの巻き数は 200、長さは 15 cm、直径は 2.5 cm です。その自己インダクタンス L を求めてください。

N = 200l = 15 cm⌀ = 2.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
120 V200 HzR = 30 ΩL = 100 mHI

抵抗とコイルが並列に、120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
VfR = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF

直列 RLC 回路の R = 20 Ω、L = 10 mH、C = 1 µF である。 帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF
B = Hz

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: x = 15.68 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

電場が等しい

6/x² = 5/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(5/6) = 0.9129

位置

x = 30/(1 + 0.9129) = 15.68 cm

答え

x = 15.68 cm

電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。

2.クーロンの法則と電場

答え: E = 8.63 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

1 つの電荷までの距離とその電場

r = √(8² + 6²) = 10 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.1² = 5.394 × 10⁶ N/C

成分

二等分線に沿った成分は打ち消し合います。

E = 2·E1·(a/r) = 2·5.394 × 10⁶·0.8 = 8.63 × 10⁶ N/C

答え

E = 8.63 × 10⁶ N/C

電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。

3.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 3.246 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​10 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7.241 Ω
Req = R1 + 7.241 = 2 + 7.241 = 9.241 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 30/9.241 = 3.246 A

答え

IR1 = 3.246 A
4.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 0.6206 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​10 ΩBR6​25 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 20 + 25 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 8.182 Ω
R3 + 8.182 = 23.18 Ω
R2 ∥ 23.18 = 4.113 Ω
Req = R1 + 4.113 = 12 + 4.113 = 16.11 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 10/16.11 = 0.6206 A

答え

IR1 = 0.6206 A
5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.2833 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

電流の減衰

i(t) = 1.5·e−25/15 = 0.2833 A

答え

i = 0.2833 A
6.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 7.889 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 15 + (5 − 15)·e−t/τ

指定時刻の電圧

vC(750) = 15 + (−10)·e−750/2200 = 7.889 V

答え

vC = 7.889 V
7.磁場と電磁誘導

答え: B = 0.8001 T

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

半径から求める磁場

B = mv/(|q|r) = 6.645 × 10⁻²⁷·5 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.1296) = 0.8001 T

答え

B = 0.8001 T
8.磁場と電磁誘導

答え: L = 164.5 µH

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

断面

A = π·(0.0125)² = 0.0004909 m²

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·200²·0.0004909/0.15 = 0.0001645 H = 164.5 µH

答え

L = 164.5 µH
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 29.18 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = ωL = 2π·200·0.1 = 125.7 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

IR = V/R = 120/30 = 4 A
IX = V/XL = 120/125.7 = 0.9549 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(IR² + IX²) = √(4² + 0.9549²) = 4.112 A

インピーダンス

|Z| = V/I = 120/4.112 = 29.18 Ω

答え

|Z| = 29.18 Ω
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 318.3 Hz

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振周波数

f0 = 1/(2π·√(0.01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.01/(1·10⁻⁶)) = 5

帯域幅

B = f0/Q = 1592/5 = 318.3 Hz

答え

B = 318.3 Hz

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