物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++4 µC++2 µC−−3 µC5 cm + 5 cm

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +4 µC、そこから 10 cm 右に −3 µC、その間で左の電荷から 5 cm の位置に +2 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +4 µCqR = −3 µCqM = +2 µCrL = 5 cmrR = 5 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
++P2 × 10 cm4 cm+4 µC+4 µC

+4 µC と +4 µC の電荷が 20 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 4 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +4 µCq2 = +4 µCd = 20 cmh = 4 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩIR2​AR4​8 ΩB

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩIR2​AR4​5 ΩBR6​2 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 ΩR5 = 6 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​20 Vt = 0R = 68 ΩL47 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 75% に達するか。t を求めよ。

Vs = 20 VR = 68 ΩL = 47 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​12 Vt = 0 で開くR1​ = 6.8 kΩR2​ = 1 kΩC220 µF+−vC​

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 250 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 12 VR1 = 6.8 kΩR2 = 1 kΩC = 220 µFt = 250 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
+v = 8 × 10⁶ m/sr = ?B = 1 T

Α粒子 が、1 T の一様な磁場に垂直に 8 × 10⁶ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sB = 1 T
r = cm
8.磁場と電磁誘導むずかしい
L1​ = 20 mH1000 A/sL2​ = 200 mHk = 0.2ε = ?

自己インダクタンスが 20 mH と 200 mH の 2 つのコイルの結合係数は 0.2 です。1 つ目のコイルの電流は 1000 A/s の割合で変化します。2 つ目のコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。

L1 = 20 mHL2 = 200 mHk = 0.2di/dt = 1000 A/s
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
12 V200 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 47 µF

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 47 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
VfR = 100 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF

直列 RLC 回路の R = 100 Ω、L = 20 mH、C = 0.1 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 100 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF
Q =

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 50.34 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

FL = +k·4·2 × 10⁻¹²/0.05² = 28.77 N
FR = +k·3·2 × 10⁻¹²/0.05² = 21.58 N

合力

F = 28.77 + (21.58) = 50.34 N → |F| = 50.34 N

答え

F = 50.34 N

合力は右向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: E = 2.303 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

1 つの電荷までの距離とその電場

r = √(10² + 4²) = 10.77 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.1077² = 3.1 × 10⁶ N/C

成分

電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。

E = 2·E1·(h/r) = 2·3.1 × 10⁶·0.3714 = 2.303 × 10⁶ N/C

答え

E = 2.303 × 10⁶ N/C

電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。

3.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 0.1784 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 5 + 8 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7.879 Ω
Req = R1 + 7.879 = 12 + 7.879 = 19.88 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 9/19.88 = 0.4527 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.4527·12 = 3.567 V
IR2 = VA/R2 = 3.567/20 = 0.1784 A

答え

IR2 = 0.1784 A
4.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 1.03 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​2 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 6 + 2 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 3.077 Ω
R3 + 3.077 = 11.08 Ω
R2 ∥ 11.08 = 3.892 Ω
Req = R1 + 3.892 = 15 + 3.892 = 18.89 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 30/18.89 = 1.588 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1.588·15 = 6.18 V
IR2 = VA/R2 = 6.18/6 = 1.03 A

答え

IR2 = 1.03 A
5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 0.9582 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0.6912 ms
i(∞) = Vs/R = 20/68 = 0.2941 A

時間について解く

0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −0.6912·ln(0.25) = 0.9582 ms

答え

t = 0.9582 ms
6.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 0.4938 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

vC(0) = 12·1/(6.8 + 1) = 1.538 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R2·C = 1·220 = 220 ms

放電

vC(t) = 1.538·e−250/220 = 0.4938 V

答え

vC = 0.4938 V
7.磁場と電磁誘導

答え: r = 16.59 cm

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力のつり合い

磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 6.645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·1) = 0.1659 m = 16.59 cm

答え

r = 16.59 cm
8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 12.65 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

相互インダクタンス

M = 0.2·√(20·200) = 12.65 mH

誘導起電力

ε = M·di/dt = 0.01265·1000 = 12.65 V

答え

ε = 12.65 V
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 83.35 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (171.6)²) = 172.7 Ω

位相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(171.6/20) = 83.35°

答え

φ = 83.35°
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 4.472

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振周波数

f0 = 1/(2π·√(0.02·0.1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.02/(0.1·10⁻⁶)) = 4.472

答え

Q = 4.472

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