物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+3 µC の電荷と +1 µC の電荷が 30 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 12 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +3 µCq₂ = +1 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

それぞれ質量 2 g の 2 つの同じ小球が、長さ 50 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 20° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 50 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 99% に達するか。t を求めよ。

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 120 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 9 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 47 µFt = 120 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

長さ 100 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.8 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 2 m/s で滑ります。レールは 2.5 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。抵抗で消費される電力 P を求めてください。

B = 0.8 TL = 100 cmv = 2 m/sR = 2.5 Ω

P = W

8.磁場と電磁誘導むずかしい

50 巻きの短いコイルが、1000 巻き、長さ 20 cm、直径 2 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。ソレノイドの電流は 500 A/s の割合で変化します。短いコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。

N₁ = 1000N₂ = 50l = 20 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 500 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF

φ = °

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 15 Ω、L = 10 mH、C = 1 µF である。共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 15 ΩL = 10 mHC = 1 µF

Q =

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 1.595 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.12² = 1.873 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.18² = 277469 N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |1.873 × 10⁶ − 277469| = 1.595 × 10⁶ N/C

答え

E = 1.595 × 10⁶ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: q = 304.8 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

つり合いからの電気力

張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。

F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 20° = 0.007141 N

間隔

r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 20° = 0.342 m

電荷

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.342·√(0.007141/8.99 × 10⁹) = 3.048 × 10⁻⁷ C = 304.8 nC

答え

q = 304.8 nC

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 2.069 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 3 + 6.667 = 9.667 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9.667 = 3.103 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3.103·3 = 20.69 V

I_R2 = V_A/R₂ = 20.69/10 = 2.069 A

答え

I_R2 = 2.069 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.2701 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 16.15 Ω

R₃ + 16.15 = 46.15 Ω

R₂ ∥ 46.15 = 16.22 Ω

R_eq = R₁ + 16.22 = 6 + 16.22 = 22.22 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/22.22 = 0.2701 A

答え

I_R1 = 0.2701 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 50.66 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0.3 A

時間について解く

0.99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)

t = −11·ln(0.01) = 50.66 ms

答え

t = 50.66 ms

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 4.311 V

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 9·4.7/(1 + 4.7) = 7.421 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 4.7·47 = 220.9 ms

放電

v_C(t) = 7.421·e^−120/220.9 = 4.311 V

答え

v_C = 4.311 V

7.磁場と電磁誘導

答え: P = 1.024 W

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

運動起電力

ε = BLv = 0.8·1·2 = 1.6 V

電流

I = ε/R = 1.6/2.5 = 0.64 A

電力

P = εI = 1.6·0.64 = 1.024 W

答え

P = 1.024 W

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 49.35 mV

相互インダクタンス

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·50·0.0003142/0.2 = 98.7 µH

誘導起電力

ε = M·di/dt = 9.87 × 10⁻⁵·500 = 49.35 mV

答え

ε = 49.35 mV

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −69.87 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−40.93)²) = 43.59 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−40.93/15) = −69.87°

答え

φ = −69.87°

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 6.667

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.01/(1·10⁻⁶)) = 6.667

答え

Q = 6.667

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