物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+5 µC と +10 µC の電荷が 80 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+5 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。

q₁ = +5 µCq₂ = +10 µCd = 80 cm

x = cm

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 10 µC はそこから一方の辺に沿って 5 cm の位置に、q₂ = 3 µC はもう一方の辺に沿って 3 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 10 µCq₂ = 3 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 90% に達するか。t を求めよ。

V_s = 9 VR = 50 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 18 V に充電されている。 t = 100 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 10 VR = 3.3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 18 Vt = 100 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

Α粒子が、1 T の一様な磁場に垂直に 2.5 × 10⁵ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2.5 × 10⁵ m/sB = 1 T

r = cm

8.磁場と電磁誘導むずかしい

自己インダクタンスが 50 mH と 5 mH の 2 つのコイルの結合係数は 0.9 です。1 つ目のコイルの電流は 100 A/s の割合で変化します。2 つ目のコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。

L₁ = 50 mHL₂ = 5 mHk = 0.9di/dt = 100 A/s

ε = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコイルが並列に、120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mH

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 24 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 0.47 µF

V_L = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: x = 33.14 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

電場が等しい

5/x² = 10/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(10/5) = 1.414

位置

x = 80/(1 + 1.414) = 33.14 cm

答え

x = 33.14 cm

電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 468.1 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·10·10 × 10⁻¹²/0.05² = 359.6 N

F₂ = k·3·10 × 10⁻¹²/0.03² = 299.7 N

ベクトル和

F = √(359.6² + 299.7²) = 468.1 N

答え

F = 468.1 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.5556 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 6·14/(6+14) = 4.2 Ω

R_eq = R₁ + 4.2 = 12 + 4.2 = 16.2 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/16.2 = 0.5556 A

答え

I_R1 = 0.5556 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 3.262 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 8.651 Ω

R₃ + 8.651 = 33.65 Ω

R₂ ∥ 33.65 = 3.575 Ω

R_eq = R₁ + 3.575 = 3 + 3.575 = 6.575 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/6.575 = 3.65 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 3.65·3 = 13.05 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13.05/4 = 3.262 A

答え

I_R2 = 3.262 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 10.13 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms

i(∞) = V_s/R = 9/50 = 0.18 A

時間について解く

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −4.4·ln(0.1) = 10.13 ms

答え

t = 10.13 ms

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 12.02 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 22 µF = 72.6 ms

v_C(t) = 10 + (18 − 10)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(100) = 10 + (8)·e^−100/72.6 = 12.02 V

答え

v_C = 12.02 V

7.磁場と電磁誘導

答え: r = 0.5185 cm

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力のつり合い

磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 6.645 × 10⁻²⁷·2.5 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·1) = 0.005185 m = 0.5185 cm

答え

r = 0.5185 cm

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 1.423 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

相互インダクタンス

M = 0.9·√(50·5) = 14.23 mH

誘導起電力

ε = M·di/dt = 0.01423·100 = 1.423 V

答え

ε = 1.423 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.534 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = ωL = 2π·200·0.1 = 125.7 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 120/100 = 1.2 A

I_X = V/X_L = 120/125.7 = 0.9549 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.2² + 0.9549²) = 1.534 A

答え

I = 1.534 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 330.1 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.47·10⁻⁶) = 10314 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1.6 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 10314·0.02 = 206.3 Ω

V_L = I·X_L = 1.6·206.3 = 330.1 V

答え

V_L = 330.1 V

これは電源電圧の Q = 13.75 倍です。

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