物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
−−2 µC−−6 µCr = 20 cm

2 つの同じ小さな金属球が −2 µC と −6 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 20 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −2 µCq2 = −6 µCr = 20 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
5 cm10 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +4 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 3 µC は直角の頂点に、q₁ = 2 µC はそこから一方の辺に沿って 5 cm の位置に、q₂ = 4 µC はもう一方の辺に沿って 10 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 2 µCq2 = 4 µCq3 = 3 µCr13 = 5 cmr23 = 10 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 ΩL10 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。

Vs = 9 VR = 10 ΩL = 10 mH
W(∞) = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​20 Vt = 0R = 2.2 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 4 V に充電されている。 vC が 16.8 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

Vs = 20 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
IBF = ?

導線に 右向き の電流が流れ、紙面の手前向き の一様な磁場の中にあります。導線に働く磁気力の向きをクリックしてください。

I: 右向きB: 紙面の手前向き
  1. 1紙面の上向き
  2. 2右向き
  3. 3紙面の下向き
  4. 4左向き
8.磁場と電磁誘導むずかしい
E = 1 × 10⁵ V/m, B1​ = 0.5 T

速度選択器では、直交する電場 E = 1 × 10⁵ V/m と磁場 B = 0.5 T によって、1 つの速さのイオンだけがまっすぐ通り抜けます。その速さ v を求めてください。

E = 1 × 10⁵ V/mB1 = 0.5 T
v = m/s
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 10 µF

C = 10 µF の直列 RLC 回路を 5000 Hz で共振させなければならない。必要なインダクタンス L を求めよ。

f0 = 5000 HzC = 10 µF
L = mH
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
100 V200 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 40 ΩC = 10 µF

抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、100 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR1 = 15 ΩR2 = 40 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 3.596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (−2 + −6)/2 = −4 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(4 × 10⁻⁶)²/0.2² = 3.596 N

答え

F = 3.596 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 24.12 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·2·3 × 10⁻¹²/0.05² = 21.58 N
F2 = k·4·3 × 10⁻¹²/0.1² = 10.79 N

ベクトル和

F = √(21.58² + 10.79²) = 24.12 N

答え

F = 24.12 N
3.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 2.609 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω
Req = R1 + 3.75 = 2 + 3.75 = 5.75 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 15/5.75 = 2.609 A

答え

IR1 = 2.609 A
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 34.63 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 28.57 Ω
R2 ∥ 28.57 = 14.63 Ω
Req = R1 + 14.63 = 20 + 14.63 = 34.63 Ω

答え

Req = 34.63 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: W(∞) = 4.05 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 9/10 = 0.9 A

蓄積エネルギー

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0.9² = 4.05 mJ

答え

W(∞) = 4.05 mJ
6.RC・RL 過渡現象

答え: t = 116.8 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ

時間について解く

16.8 = 20 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (16.8 − 20)/(4 − 20) = 0.2
t = τ·ln((4 − 20)/(16.8 − 20)) = 72.6·ln(5) = 116.8 ms

答え

t = 116.8 ms
7.磁場と電磁誘導

答え: 紙面の下向き

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手の法則

指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。

I: 右向き, B: 紙面の手前向き

力の向き

紙面の下向き

答え

F: 紙面の下向き
8.磁場と電磁誘導

答え: v = 200000 m/s

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

選ばれる速さ

曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。

v = E/B1 = 1 × 10⁵/0.5 = 200000 m/s

答え

v = 200000 m/s
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: L = 0.1013 mH

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振条件

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·10·10⁻⁶) = 0.1013 mH

答え

L = 0.1013 mH
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 49.6 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XC = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 31.93 − j16.05 Ω

合成インピーダンス

Z = 15 + 31.93 − j16.05 = 46.93 − j16.05 Ω
|Z| = √(46.93² + 16.05²) = 49.6 Ω

答え

|Z| = 49.6 Ω

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