クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+8 µC の電荷と +4 µC の電荷が 30 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 7.5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +8 µCq2 = +4 µCr1 = 7.5 cmr2 = 22.5 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 1.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 10 cm、極板間の電場は 3000 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3000 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 ΩR5 = 6 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
コイルには 1.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 5 ms における電流 i を求めよ。
i(0) = 1.5 AR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 4 V に充電されている。 vC が 8.8 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 20 VR = 3.3 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
4 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 20 A と 10 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。
I1 = 20 AI2 = 10 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
20 巻き、20 cm × 15 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.05 T の一様な磁場の中で 1800 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。
N = 20A = 20 cm × 15 cmB = 0.05 Tn = 1800 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
L = 2 mH の直列 RLC 回路を 1000 Hz で共振させなければならない。必要な静電容量 C を求めよ。
f0 = 1000 HzL = 2 mH
C = µF
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 200 HzR1 = 20 ΩR2 = 100 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.208 × 10⁷ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.075² = 1.279 × 10⁷ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.225² = 710321 N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |1.279 × 10⁷ − 710321| = 1.208 × 10⁷ N/C
答え
E = 1.208 × 10⁷ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 11.72 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.1/1.5 × 10⁷ = 6.667 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3000/9.109 × 10⁻³¹ = 5.276 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·5.276 × 10¹⁴·(6.667 × 10⁻⁹)² = 0.01172 m = 11.72 mm
答え
y = 11.72 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 1.087 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3.407 Ω
Req = R1 + 3.407 = 6 + 3.407 = 9.407 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 12/9.407 = 1.276 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.276·6 = 4.346 V
IR2 = VA/R2 = 4.346/4 = 1.087 A
答え
IR2 = 1.087 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.3687 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 3.438 Ω
R3 + 3.438 = 5.438 Ω
R2 ∥ 5.438 = 4.275 Ω
Req = R1 + 4.275 = 12 + 4.275 = 16.28 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/16.28 = 0.3687 A
答え
IR1 = 0.3687 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: i = 0.3131 A
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数
τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms
電流の減衰
i(t) = 1.5·e−5/3.191 = 0.3131 A
答え
i = 0.3131 A
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 80.04 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 68 µF = 224.4 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ
時間について解く
8.8 = 20 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (8.8 − 20)/(4 − 20) = 0.7
t = τ·ln((4 − 20)/(8.8 − 20)) = 224.4·ln(1.429) = 80.04 ms
答え
t = 80.04 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: F/L = 1000 µN/m
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
1 メートルあたりの力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·10/0.04 = 1000 µN/m
答え
F/L = 1000 µN/m
同じ向きの電流は引き合います。
8.磁場と電磁誘導
答え: E0 = 5.655 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
A = 0.03 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 20·0.05·0.03·188.5 = 5.655 V
答え
E0 = 5.655 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: C = 12.67 µF
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.002) = 12.67 µF
答え
C = 12.67 µF
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 44.94 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 11.57 − j31.99 Ω
合成インピーダンス
Z = 20 + 11.57 − j31.99 = 31.57 − j31.99 Ω
|Z| = √(31.57² + 31.99²) = 44.94 Ω
答え
|Z| = 44.94 Ω
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