物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++10 µC−−5 µCP10 cm

+10 µC の電荷と −5 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q1 = +10 µCq2 = −5 µCr1 = 5 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
8 cm4 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +5 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 8 µC は直角の頂点に、q₁ = 5 µC はそこから一方の辺に沿って 8 cm の位置に、q₂ = 5 µC はもう一方の辺に沿って 4 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 5 µCq2 = 5 µCq3 = 8 µCr13 = 8 cmr23 = 4 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 30 ΩR5 = 2 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
R = 20 Ωt = 0L68 mHi(t)

コイルには 3 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 電流が 0.75 A まで下がるのにどれだけかかるか。t を求めよ。

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 68 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​9 Vt = 0R = 2.2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 5 V に充電されている。 t = 400 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 9 VR = 2.2 kΩC = 68 µFvC(0) = 5 Vt = 400 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
+v = 6 × 10⁶ m/sB = 0.8 T

陽子 が、0.8 T の一様な磁場の中で円運動をしています。1 周にかかる時間 T を求めてください。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.8 T
T = ns
8.磁場と電磁誘導むずかしい
I = 1 Al = 25 cmN = 300, ⌀ 1 cm

空芯の長いソレノイドの巻き数は 300、長さは 25 cm、直径は 1 cm です。1 A が流れているとき、その磁場に蓄えられるエネルギー W を求めてください。

N = 300l = 25 cm⌀ = 1 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
230 V200 HzR = 60 ΩC = 47 µFI

抵抗とコンデンサが並列に、230 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩC = 47 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
100 V200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF+−VC​

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF
VC = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 5.394 × 10⁷ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.05² = 3.596 × 10⁷ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.05² = 1.798 × 10⁷ N/C

向きと合成

1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。

E = |3.596 × 10⁷ + 1.798 × 10⁷| = 5.394 × 10⁷ N/C

答え

E = 5.394 × 10⁷ N/C
2.クーロンの法則と電場

答え: F = 231.7 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·5·8 × 10⁻¹²/0.08² = 56.19 N
F2 = k·5·8 × 10⁻¹²/0.04² = 224.7 N

ベクトル和

F = √(56.19² + 224.7²) = 231.7 N

答え

F = 231.7 N
3.抵抗の直列・並列

答え: Req = 9.444 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Req = R1 + 4.444 = 5 + 4.444 = 9.444 Ω

答え

Req = 9.444 Ω
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 20.35 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 7.5 Ω
R3 + 7.5 = 27.5 Ω
R2 ∥ 27.5 = 14.35 Ω
Req = R1 + 14.35 = 6 + 14.35 = 20.35 Ω

答え

Req = 20.35 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 4.713 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms

時間について解く

0.75 = 3·e−t/τ → t = τ·ln(3/0.75)
t = 3.4·ln(4) = 4.713 ms

答え

t = 4.713 ms
6.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 8.724 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms
vC(t) = 9 + (5 − 9)·e−t/τ

指定時刻の電圧

vC(400) = 9 + (−4)·e−400/149.6 = 8.724 V

答え

vC = 8.724 V
7.磁場と電磁誘導

答え: T = 82.02 ns

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

円運動の周期

速い粒子はより大きな円を描くので、1 周にかかる時間は変わりません。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.8) = 82.02 ns

答え

T = 82.02 ns

速さは必要ありません：サイクロトロンが 1 つの固定された周波数を使えるのはこのためです。

8.磁場と電磁誘導

答え: W = 17.77 µJ

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 35.53 µH

蓄積エネルギー

W = ½LI² = ½·3.553 × 10⁻⁵·1² = 1.777 × 10⁻⁵ J = 17.77 µJ

答え

W = 17.77 µJ
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −74.24 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

IR = V/R = 230/60 = 3.833 A
IX = V/XC = 230/16.93 = 13.58 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(IR² + IX²) = √(3.833² + 13.58²) = 14.11 A

位相角

コンデンサの電流は V より進むので、全電流も進み、角度は負です。

φ = −arctan(IX/IR) = −arctan(13.58/3.833) = −74.24°

答え

φ = −74.24°
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VC = 9.766 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (171.6)²) = 173.4 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 100/173.4 = 0.5768 A

コンデンサの電圧

VC = I·XC = 0.5768·16.93 = 9.766 V

答え

VC = 9.766 V

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