物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が +4 µC と +8 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 20 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = +8 µCr = 20 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 2 µC は直角の頂点に、q₁ = 10 µC はそこから一方の辺に沿って 6 cm の位置に、q₂ = 5 µC はもう一方の辺に沿って 6 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 10 µCq₂ = 5 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。

V_s = 20 VR = 5 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 2 V に充電されている。 t = 30 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 2 Vt = 30 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

円形のループが、紙面の奥向きの一様な磁場の中にあります。磁場は強くなっています。図で見たループの誘導電流の向きをクリックしてください。

B: 紙面の奥向きdB/dt > 0

1時計回り
2反時計回り

8.磁場と電磁誘導むずかしい

250 巻き、10 cm × 10 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.2 T の一様な磁場の中で 1800 rpm で回転します。ピーク起電力 E₀ を求めてください。

N = 250A = 10 cm × 10 cmB = 0.2 Tn = 1800 rpm

E₀ = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

P = W

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 50 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 8.091 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (4 + 8)/2 = 6 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0.2² = 8.091 N

答え

F = 8.091 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 55.84 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·10·2 × 10⁻¹²/0.06² = 49.94 N

F₂ = k·5·2 × 10⁻¹²/0.06² = 24.97 N

ベクトル和

F = √(49.94² + 24.97²) = 55.84 N

答え

F = 55.84 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 1.8 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω

R_eq = R₁ + 1.5 = 6 + 1.5 = 7.5 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/7.5 = 2.4 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2.4·6 = 3.6 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.6/2 = 1.8 A

答え

I_R2 = 1.8 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.38 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 2 + 3 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 3.077 Ω

R₃ + 3.077 = 18.08 Ω

R₂ ∥ 18.08 = 2.573 Ω

R_eq = R₁ + 2.573 = 20 + 2.573 = 22.57 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/22.57 = 0.443 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.443·20 = 1.14 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.14/3 = 0.38 A

答え

I_R2 = 0.38 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: W(∞) = 1200 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 150 mH / 5 Ω = 30 ms

i(∞) = V_s/R = 20/5 = 4 A

蓄積エネルギー

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·4² = 1200 mJ

答え

W(∞) = 1200 mJ

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 3.814 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (2 − 9)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(30) = 9 + (−7)·e^−30/100 = 3.814 V

答え

v_C = 3.814 V

7.磁場と電磁誘導

答え: 反時計回り

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

磁束の変化

紙面の奥向きの磁束が増えるか、紙面の手前向きの磁束が減ります。

誘導電流がつくる磁場

誘導電流は変化を妨げます。

ループ内側の誘導磁場：紙面の手前向き。

電流の向き

右手の法則：反時計回りの電流は、ループの内側に紙面の手前向きの磁場をつくります。

反時計回り

答え

反時計回り

8.磁場と電磁誘導

答え: E₀ = 94.25 V

角速度と面積

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

A = 0.01 m²

ピーク起電力

E₀ = NBAω = 250·0.2·0.01·188.5 = 94.25 V

答え

E₀ = 94.25 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 53.43 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 188.5 Ω, X_C = 169.3 Ω

インピーダンス

|Z| = √(10² + (19.18)²) = 21.63 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 50/21.63 = 2.311 A

P = I²·R = 2.311²·10 = 53.43 W

答え

P = 53.43 W

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 67.05 Ω

リアクタンス

X_C = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 45.51 − j14.3 Ω

合成インピーダンス

Z = 20 + 45.51 − j14.3 = 65.51 − j14.3 Ω

|Z| = √(65.51² + 14.3²) = 67.05 Ω

答え

|Z| = 67.05 Ω

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