クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+5 µC の電荷と +8 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +5 µCq2 = +8 µCr1 = 5 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 1.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 6 cm、極板間の電場は 1400 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 1400 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 ΩR5 = 10 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 99% に達するか。t を求めよ。
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 68 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 200 ms で R2 を流れる電流 i2 を求めよ。
Vs = 9 VR1 = 2.2 kΩR2 = 4.7 kΩC = 68 µFt = 200 ms
i2 = mA
7.磁場と電磁誘導ふつう
4 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 2 A と 25 A の電流が流れています。両者のちょうど中間の点 P での磁束密度の大きさ B を求めてください。
I1 = 2 AI2 = 25 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁場と電磁誘導むずかしい
200 巻き、10 cm × 10 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.05 T の一様な磁場の中で 900 rpm で回転します。起電力の実効値 Erms を求めてください。
N = 200A = 10 cm × 10 cmB = 0.05 Tn = 900 rpm
Erms = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 24 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
VL = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.079 × 10⁷ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.05² = 1.798 × 10⁷ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0.05² = 2.877 × 10⁷ N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |1.798 × 10⁷ − 2.877 × 10⁷| = 1.079 × 10⁷ N/C
答え
E = 1.079 × 10⁷ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 1.97 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.06/1.5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·1400/9.109 × 10⁻³¹ = 2.462 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·2.462 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.00197 m = 1.97 mm
答え
y = 1.97 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 9.636 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1.636 Ω
Req = R1 + 1.636 = 8 + 1.636 = 9.636 Ω
答え
Req = 9.636 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 3.753 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 10 + 8 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 8.182 Ω
R3 + 8.182 = 14.18 Ω
R2 ∥ 14.18 = 1.753 Ω
Req = R1 + 1.753 = 2 + 1.753 = 3.753 Ω
答え
Req = 3.753 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: t = 6.663 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A
時間について解く
0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −1.447·ln(0.01) = 6.663 ms
答え
t = 6.663 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: i2 = 0.6976 mA
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサの初期電圧
定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。
vC(0) = 9·4.7/(2.2 + 4.7) = 6.13 V
スイッチが開いた後の時定数
τ = R2·C = 4.7·68 = 319.6 ms
放電
vC(t) = 6.13·e−200/319.6 = 3.279 V
i2 = vC/R2 = 3.279/4.7 = 0.6976 mA
答え
i2 = 0.6976 mA
7.磁場と電磁誘導
答え: B = 230 µT
電流がつくる磁場：長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になり（右手の法則）、B = μ₀I/(2πr) です。N 巻きの平らな円形コイルの中心では B = μ₀NI/(2R) です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によらず B = μ₀nI、n = N/L は 1 メートルあたりの巻き数です。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。SI 単位（メートルとアンペア）で計算し、複数の源による磁場はベクトルとして足します。
P での各導線の磁場
B1 = 2 × 10⁻⁷·2/0.02 = 20 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·25/0.02 = 250 µT
組み合わせる
B = |B₁ − B₂| = 230 µT
答え
B = 230 µT
8.磁場と電磁誘導
答え: Erms = 6.664 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.01 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 200·0.05·0.01·94.25 = 9.425 V
実効値
Erms = 9.425/√2 = 6.664 V
答え
Erms = 6.664 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 15.65 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·200·0.02 = 25.13 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 24/20 = 1.2 A
IX = V/XL = 24/25.13 = 0.9549 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(1.2² + 0.9549²) = 1.534 A
インピーダンス
|Z| = V/I = 24/1.534 = 15.65 Ω
答え
|Z| = 15.65 Ω
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 457.7 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·2.2·10⁻⁶) = 4767 rad/s
I = V/R = 24/5 = 4.8 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 4767·0.02 = 95.35 Ω
VL = I·XL = 4.8·95.35 = 457.7 V
答え
VL = 457.7 V
これは電源電圧の Q = 19.07 倍です。
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