物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++4 µC++8 µCP60 cm

+4 µC の電荷と +8 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 30 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q1 = +4 µCq2 = +8 µCr1 = 30 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
4 cm6 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +10 µC+q2​ = +6 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 8 µC はそこから一方の辺に沿って 4 cm の位置に、q₂ = 6 µC はもう一方の辺に沿って 6 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 8 µCq2 = 6 µCq3 = 10 µCr13 = 4 cmr23 = 6 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 5 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 4 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
R = 50 Ωt = 0L47 mHi(t)

コイルには 1 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

i(0) = 1 AR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​6 Vt = 0 で開くR1​ = 3.3 kΩR2​ = 10 kΩi2​C100 µF+−vC​

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 1000 ms で R2 を流れる電流 i2 を求めよ。

Vs = 6 VR1 = 3.3 kΩR2 = 10 kΩC = 100 µFt = 1000 ms
i2 = mA
7.磁場と電磁誘導ふつう
20 A2 Ad = 6 cm

6 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、逆向きに 20 A と 2 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。

I1 = 20 AI2 = 2 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
I = 1.5 Al = 25 cmN = 200, ⌀ 2.5 cm

空芯の長いソレノイドの巻き数は 200、長さは 25 cm、直径は 2.5 cm です。1.5 A が流れているとき、その磁場に蓄えられるエネルギー W を求めてください。

N = 200l = 25 cm⌀ = 2.5 cmI = 1.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
120 V50 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF
cos φ =
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
50 V500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF+−VC​

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
VC = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 399556 N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.3² = 399556 N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0.3² = 799111 N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |399556 − 799111| = 399556 N/C

答え

E = 399556 N/C
2.クーロンの法則と電場

答え: F = 473.8 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·8·10 × 10⁻¹²/0.04² = 449.5 N
F2 = k·6·10 × 10⁻¹²/0.06² = 149.8 N

ベクトル和

F = √(449.5² + 149.8²) = 473.8 N

答え

F = 473.8 N
3.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 0.6812 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 15·32/(15+32) = 10.21 Ω
Req = R1 + 10.21 = 3 + 10.21 = 13.21 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 9/13.21 = 0.6812 A

答え

IR1 = 0.6812 A
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 10.58 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 4 + 30 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 6.476 Ω
R3 + 6.476 = 18.48 Ω
R2 ∥ 18.48 = 5.583 Ω
Req = R1 + 5.583 = 5 + 5.583 = 10.58 Ω

答え

Req = 10.58 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.3451 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0.94 ms

電流の減衰

i(t) = 1·e−1/0.94 = 0.3451 A

答え

i = 0.3451 A
6.RC・RL 過渡現象

答え: i2 = 0.166 mA

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

vC(0) = 6·10/(3.3 + 10) = 4.511 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R2·C = 10·100 = 1000 ms

放電

vC(t) = 4.511·e−1000/1000 = 1.66 V
i2 = vC/R2 = 1.66/10 = 0.166 mA

答え

i2 = 0.166 mA
7.磁場と電磁誘導

答え: F/L = 133.3 µN/m

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

1 メートルあたりの力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·2/0.06 = 133.3 µN/m

答え

F/L = 133.3 µN/m

逆向きの電流は反発し合います。

8.磁場と電磁誘導

答え: W = 111 µJ

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 98.7 µH

蓄積エネルギー

W = ½LI² = ½·9.87 × 10⁻⁵·1.5² = 0.000111 J = 111 µJ

答え

W = 111 µJ
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.9201

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = 6.283 Ω, XC = 31.83 Ω

インピーダンス

|Z| = √(60² + (−25.55)²) = 65.21 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 60/65.21 = 0.9201
回路は容量性なので、力率は進みです。

答え

cos φ = 0.9201
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VC = 8.376 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (403.5)²) = 404.3 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 50/404.3 = 0.1237 A

コンデンサの電圧

VC = I·XC = 0.1237·67.73 = 8.376 V

答え

VC = 8.376 V

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