物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が +3 µC と +10 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 30 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +10 µCr = 30 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

+3 µC と +3 µC の電荷が 6 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 6 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 6 cmh = 6 cm

E = N/C

3.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 6 VR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 3 V に充電されている。 t = 10 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 3 Vt = 10 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

10 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、逆向きに 12 A と 2 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。

I₁ = 12 AI₂ = 2 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.磁場と電磁誘導むずかしい

空芯の長いソレノイドの巻き数は 800、長さは 50 cm、直径は 5 cm です。1 A が流れているとき、その磁場に蓄えられるエネルギー W を求めてください。

N = 800l = 50 cm⌀ = 5 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 100 Ω、L = 50 mH、C = 0.047 µF である。帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 100 ΩL = 50 mHC = 0.047 µF

B = Hz

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 4.22 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (3 + 10)/2 = 6.5 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(6.5 × 10⁻⁶)²/0.3² = 4.22 N

答え

F = 4.22 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: E = 1.072 × 10⁷ N/C

1 つの電荷までの距離とその電場

r = √(3² + 6²) = 6.708 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.06708² = 5.993 × 10⁶ N/C

成分

電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。

E = 2·E₁·(h/r) = 2·5.993 × 10⁶·0.8944 = 1.072 × 10⁷ N/C

答え

E = 1.072 × 10⁷ N/C

電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 3.462 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 4·24/(4+24) = 3.429 Ω

R_eq = R₁ + 3.429 = 4 + 3.429 = 7.429 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/7.429 = 4.038 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 4.038·4 = 13.85 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13.85/4 = 3.462 A

答え

I_R2 = 3.462 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.665 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 6 + 8 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 3.684 Ω

R₃ + 3.684 = 28.68 Ω

R₂ ∥ 28.68 = 1.87 Ω

R_eq = R₁ + 1.87 = 15 + 1.87 = 16.87 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/16.87 = 0.7113 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.7113·15 = 1.33 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.33/2 = 0.665 A

答え

I_R2 = 0.665 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.05285 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms

i(∞) = V_s/R = 6/100 = 0.06 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.06·(1 − e^−1/0.47) = 0.05285 A

答え

i = 0.05285 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 8.689 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 12 + (3 − 12)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(10) = 12 + (−9)·e^−10/10 = 8.689 V

答え

v_C = 8.689 V

7.磁場と電磁誘導

答え: F/L = 48 µN/m

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

1 メートルあたりの力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·12·2/0.1 = 48 µN/m

答え

F/L = 48 µN/m

逆向きの電流は反発し合います。

8.磁場と電磁誘導

答え: W = 1.579 mJ

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 3.158 mH

蓄積エネルギー

W = ½LI² = ½·0.003158·1² = 0.001579 J = 1.579 mJ

答え

W = 1.579 mJ

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.01635 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795.8 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−732.9)²) = 734 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/734 = 0.01635 A

答え

I = 0.01635 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 318.3 Hz

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.05·0.047·10⁻⁶)) = 3283 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.05/(0.047·10⁻⁶)) = 10.31

帯域幅

B = f₀/Q = 3283/10.31 = 318.3 Hz

答え

B = 318.3 Hz

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