物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++2 µC−−5 µC++3 µC24 cm + 16 cm

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +2 µC、そこから 40 cm 右に +3 µC、その間で左の電荷から 24 cm の位置に −5 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +2 µCqR = +3 µCqM = −5 µCrL = 24 cmrR = 16 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+ + + + + +− − − − − −e⁻2.5 × 10⁷ m/s4 cmE = 3900 N/C

電子が 2.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 4 cm、極板間の電場は 3900 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。

v₀ = 2.5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3900 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩIR2​AR4​2 ΩB

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​6 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 ΩR5 = 30 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​9 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 99% に達するか。t を求めよ。

Vs = 9 VR = 15 ΩL = 10 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​24 Vt = 0R = 6.8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 18 V に充電されている。 vC が 20.4 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

Vs = 24 VR = 6.8 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
−v = 6 × 10⁶ m/sB = 20 mT

電子 が、20 mT の一様な磁場の中で円運動をしています。1 周にかかる時間 T を求めてください。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 20 mT
T = ns
8.磁場と電磁誘導むずかしい
E = 2 × 10⁴ V/m, B1​ = 0.05 TB2​ = 0.25 Tr = ?

Α粒子 が、直交する電場 E = 2 × 10⁴ V/m と磁場 B₁ = 0.05 T をもつ速度選択器を、曲がらずに通り抜けます。そのあと、磁場 B₂ = 0.25 T だけがある第 2 の領域に直角に入ります。そこでの軌道の半径 r を求めてください。

E = 2 × 10⁴ V/mB1 = 0.05 TB2 = 0.25 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
24 V200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
120 V200 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 80 ΩC = 22 µF

抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR1 = 10 ΩR2 = 80 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 3.707 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

FL = −k·2·5 × 10⁻¹²/0.24² = −1.561 N
FR = +k·3·5 × 10⁻¹²/0.16² = 5.268 N

合力

F = −1.561 + (5.268) = 3.707 N → |F| = 3.707 N

答え

F = 3.707 N

合力は右向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: y = 0.8779 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

極板間にいる時間

t = L/v₀ = 0.04/2.5 × 10⁷ = 1.6 × 10⁻⁹ s

横方向の加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3900/9.109 × 10⁻³¹ = 6.859 × 10¹⁴ m/s²

たわみ

y = ½·a·t² = ½·6.859 × 10¹⁴·(1.6 × 10⁻⁹)² = 0.0008779 m = 0.8779 mm

答え

y = 0.8779 mm

電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。

3.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 0.4545 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 4 + 2 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω
Req = R1 + 1.5 = 15 + 1.5 = 16.5 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 10/16.5 = 0.6061 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.6061·15 = 0.9091 V
IR2 = VA/R2 = 0.9091/2 = 0.4545 A

答え

IR2 = 0.4545 A
4.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 1.108 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​4 ΩBR6​6 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 30 + 6 = 36 Ω
R4 ∥ 36 = 3.6 Ω
R3 + 3.6 = 15.6 Ω
R2 ∥ 15.6 = 3.184 Ω
Req = R1 + 3.184 = 4 + 3.184 = 7.184 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 10/7.184 = 1.392 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1.392·4 = 4.432 V
IR2 = VA/R2 = 4.432/4 = 1.108 A

答え

IR2 = 1.108 A
5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 3.07 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms
i(∞) = Vs/R = 9/15 = 0.6 A

時間について解く

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −0.6667·ln(0.01) = 3.07 ms

答え

t = 3.07 ms
6.RC・RL 過渡現象

答え: t = 163.3 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms
vC(t) = 24 + (18 − 24)·e−t/τ

時間について解く

20.4 = 24 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (20.4 − 24)/(18 − 24) = 0.6
t = τ·ln((18 − 24)/(20.4 − 24)) = 319.6·ln(1.667) = 163.3 ms

答え

t = 163.3 ms
7.磁場と電磁誘導

答え: T = 1.786 ns

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

円運動の周期

速い粒子はより大きな円を描くので、1 周にかかる時間は変わりません。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9.109 × 10⁻³¹/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.02) = 1.786 ns

答え

T = 1.786 ns

速さは必要ありません：サイクロトロンが 1 つの固定された周波数を使えるのはこのためです。

8.磁場と電磁誘導

答え: r = 3.318 cm

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

選ばれる速さ

曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。

v = E/B1 = 2 × 10⁴/0.05 = 400000 m/s

第 2 の磁場での半径

r = mv/(|q|B2) = 0.03318 m = 3.318 cm

答え

r = 3.318 cm
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.2227 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (89.49)²) = 107.7 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 24/107.7 = 0.2227 A

答え

I = 0.2227 A
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 38.18 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 13.58 − j30.03 Ω

合成インピーダンス

Z = 10 + 13.58 − j30.03 = 23.58 − j30.03 Ω
|Z| = √(23.58² + 30.03²) = 38.18 Ω

答え

|Z| = 38.18 Ω

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