物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+1 µC の電荷と −8 µC の電荷が 30 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 7.5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +1 µCq₂ = −8 µCr₁ = 7.5 cmr₂ = 22.5 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

それぞれ質量 2 g の 2 つの同じ小球が、長さ 20 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 8° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² を使いなさい。

m = 2 gL = 20 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 1.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 5 ms での R の両端電圧 v_R を求めよ。

i(0) = 1.5 AR = 47 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_R = V

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 10 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 22 ΩR₂ = 22 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

7.磁場と電磁誘導ふつう

10 巻きのコイルの面積は 50 cm² です。コイルが、その面に垂直な 0.3 T の一様な磁場の中にあり、磁場が 500 ms で切られます。平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 10A = 50 cm²B = 0.3 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.磁場と電磁誘導むずかしい

150 巻き、12 cm × 5 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.05 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 2.999 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？

N = 150A = 12 cm × 5 cmB = 0.05 TE_rms = 2.999 V

n = rpm

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

φ = °

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、230 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 150 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 3.019 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.075² = 1.598 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.225² = 1.421 × 10⁶ N/C

向きと合成

1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。

E = |1.598 × 10⁶ + 1.421 × 10⁶| = 3.019 × 10⁶ N/C

答え

E = 3.019 × 10⁶ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: q = 30.83 nC

つり合いからの電気力

張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。

F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 8° = 0.002757 N

間隔

r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 8° = 0.05567 m

電荷

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.05567·√(0.002757/8.99 × 10⁹) = 3.083 × 10⁻⁸ C = 30.83 nC

答え

q = 30.83 nC

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.3868 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 15·26/(15+26) = 9.512 Ω

R_eq = R₁ + 9.512 = 6 + 9.512 = 15.51 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/15.51 = 0.3868 A

答え

I_R1 = 0.3868 A

4.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 11.8 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 3.231 Ω

R₃ + 3.231 = 11.23 Ω

R₂ ∥ 11.23 = 5.801 Ω

R_eq = R₁ + 5.801 = 6 + 5.801 = 11.8 Ω

答え

R_eq = 11.8 Ω

5.RC・RL 過渡現象

答え: v_R = 24.23 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms

電流の減衰

i(t) = 1.5·e^−5/4.681 = 0.5154 A

v_R = R·i = 47·0.5154 = 24.23 V

答え

v_R = 24.23 V

6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.3096 A

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。

i(0) = 12/22 = 0.5455 A

i(∞) = 12/(22 + 22) = 0.2727 A

τ = L/R = 220/44 = 5 ms

i(t) = 0.2727 + (0.5455 − 0.2727)·e^−t/τ

指定時刻の電流

i(10) = 0.2727 + (0.2727)·e^−10/5 = 0.3096 A

答え

i = 0.3096 A

7.磁場と電磁誘導

答え: ε = 30 mV

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = 0.3·0.005 = 0.0015 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 10·0.0015/0.5 = 0.03 V

答え

ε = 30 mV

8.磁場と電磁誘導

答え: n = 900 rpm

ピーク起電力

E₀ = √2·E_rms = 4.241 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 4.241/(150·0.05·0.006) = 94.25 rad/s

毎分回転数

n = 60·94.25/(2π) = 900 rpm

答え

n = 900 rpm

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 84.9 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (560.6)²) = 562.8 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(560.6/50) = 84.9°

答え

φ = 84.9°

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 75.53 Ω

リアクタンス

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25.4 − j56.26 Ω

合成インピーダンス

Z = 25 + 25.4 − j56.26 = 50.4 − j56.26 Ω

|Z| = √(50.4² + 56.26²) = 75.53 Ω

答え

|Z| = 75.53 Ω

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