物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+8 µC の電荷と +1 µC の電荷が 50 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 25 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +8 µCq₂ = +1 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

それぞれ質量 10 g の 2 つの同じ小球が、長さ 40 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 8° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 40 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 2 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 10 ms における電流 i を求めよ。

i(0) = 2 AR = 22 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 1 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

V_s = 24 VR₁ = 47 ΩR₂ = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.磁場と電磁誘導ふつう

10 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 10 A と 30 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。

I₁ = 10 AI₂ = 30 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.磁場と電磁誘導むずかしい

空芯の長いソレノイドの巻き数は 800、長さは 50 cm、直径は 2.5 cm です。2 A が流れているとき、その磁場に蓄えられるエネルギー W を求めてください。

N = 800l = 50 cm⌀ = 2.5 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 1 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 5 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF

V_L = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 1.007 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0.25² = 1.151 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.25² = 143840 N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |1.151 × 10⁶ − 143840| = 1.007 × 10⁶ N/C

答え

E = 1.007 × 10⁶ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: q = 137.9 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

つり合いからの電気力

張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。

F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 8° = 0.01379 N

間隔

r = 2·L·sin θ = 2·0.4·sin 8° = 0.1113 m

電荷

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1113·√(0.01379/8.99 × 10⁹) = 1.379 × 10⁻⁷ C = 137.9 nC

答え

q = 137.9 nC

3.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 13 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 15·30/(15+30) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 3 + 10 = 13 Ω

答え

R_eq = 13 Ω

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.2143 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 1.84 Ω

R₃ + 1.84 = 4.84 Ω

R₂ ∥ 4.84 = 3.261 Ω

R_eq = R₁ + 3.261 = 15 + 3.261 = 18.26 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/18.26 = 0.6571 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.6571·15 = 2.143 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.143/10 = 0.2143 A

答え

I_R2 = 0.2143 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.7358 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

電流の減衰

i(t) = 2·e^−10/10 = 0.7358 A

答え

i = 0.7358 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.2899 A

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。

i(0) = 24/47 = 0.5106 A

i(∞) = 24/(47 + 47) = 0.2553 A

τ = L/R = 47/94 = 0.5 ms

i(t) = 0.2553 + (0.5106 − 0.2553)·e^−t/τ

指定時刻の電流

i(1) = 0.2553 + (0.2553)·e^−1/0.5 = 0.2899 A

答え

i = 0.2899 A

7.磁場と電磁誘導

答え: F/L = 600 µN/m

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

1 メートルあたりの力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·10·30/0.1 = 600 µN/m

答え

F/L = 600 µN/m

同じ向きの電流は引き合います。

8.磁場と電磁誘導

答え: W = 1.579 mJ

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 789.6 µH

蓄積エネルギー

W = ½LI² = ½·0.0007896·2² = 0.001579 J = 1.579 mJ

答え

W = 1.579 mJ

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.8941 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−255.5)²) = 257.2 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 230/257.2 = 0.8941 A

答え

I = 0.8941 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 111.8 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.1·10⁻⁶) = 44721 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0.5 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 44721·0.005 = 223.6 Ω

V_L = I·X_L = 0.5·223.6 = 111.8 V

答え

V_L = 111.8 V

これは電源電圧の Q = 22.36 倍です。

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