物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++3 µC−−6 µCP60 cm

+3 µC の電荷と −6 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 36 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q1 = +3 µCq2 = −6 µCr1 = 36 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
5 cm4 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +4 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 5 µC は直角の頂点に、q₁ = 4 µC はそこから一方の辺に沿って 5 cm の位置に、q₂ = 4 µC はもう一方の辺に沿って 4 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 4 µCq2 = 4 µCq3 = 5 µCr13 = 5 cmr23 = 4 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩIR2​AR4​15 ΩB

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 6 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩIR2​AR4​15 ΩBR6​5 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 36 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 ΩR5 = 15 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​24 Vt = 0R = 68 ΩL22 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

Vs = 24 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​10 VR1​ = 20 ΩR2​ = 22 Ωt = 0 で開くL68 mHi(t)

R2 の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 2 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

Vs = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 22 ΩL = 68 mHt = 2 ms
i = A
7.磁場と電磁誘導ふつう
IBF = ?

導線に 右向き の電流が流れ、紙面の奥向き の一様な磁場の中にあります。導線に働く磁気力の向きをクリックしてください。

I: 右向きB: 紙面の奥向き
  1. 1紙面の上向き
  2. 2右向き
  3. 3紙面の下向き
  4. 4左向き
8.磁場と電磁誘導むずかしい
V = 500 VB = 0.4 Tr = ?

重陽子 が静止状態から 500 V の電位差で加速され、そのあと 0.4 T の一様な磁場に直角に入ります。磁場中での軌道の半径 r を求めてください。

m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0.4 T
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
120 V60 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 47 µFI

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 47 µF
P = W
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
VfR = 20 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF

直列 RLC 回路の R = 20 Ω、L = 1 mH、C = 0.047 µF である。 帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 20 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF
B = Hz

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 1.145 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.36² = 208102 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0.24² = 936458 N/C

向きと合成

1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。

E = |208102 + 936458| = 1.145 × 10⁶ N/C

答え

E = 1.145 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場

答え: F = 133.4 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·4·5 × 10⁻¹²/0.05² = 71.92 N
F2 = k·4·5 × 10⁻¹²/0.04² = 112.4 N

ベクトル和

F = √(71.92² + 112.4²) = 133.4 N

答え

F = 133.4 N
3.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 1.154 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​15 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 10 + 15 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 4·25/(4+25) = 3.448 Ω
Req = R1 + 3.448 = 10 + 3.448 = 13.45 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 18/13.45 = 1.338 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.338·10 = 4.615 V
IR2 = VA/R2 = 4.615/4 = 1.154 A

答え

IR2 = 1.154 A
4.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 3.36 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 6 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩAR4​15 ΩBR6​5 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 15 + 5 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 33.57 Ω
R2 ∥ 33.57 = 3.574 Ω
Req = R1 + 3.574 = 6 + 3.574 = 9.574 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 36/9.574 = 3.76 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 3.76·6 = 13.44 V
IR2 = VA/R2 = 13.44/4 = 3.36 A

答え

IR2 = 3.36 A
5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.3369 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0.3235 ms
i(∞) = Vs/R = 24/68 = 0.3529 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.3529·(1 − e−1/0.3235) = 0.3369 A

答え

i = 0.3369 A
6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.3142 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。

i(0) = 10/20 = 0.5 A
i(∞) = 10/(20 + 22) = 0.2381 A
τ = L/R = 68/42 = 1.619 ms
i(t) = 0.2381 + (0.5 − 0.2381)·e−t/τ

指定時刻の電流

i(2) = 0.2381 + (0.2619)·e−2/1.619 = 0.3142 A

答え

i = 0.3142 A
7.磁場と電磁誘導

答え: 紙面の上向き

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手の法則

指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。

I: 右向き, B: 紙面の奥向き

力の向き

紙面の上向き

答え

F: 紙面の上向き
8.磁場と電磁誘導

答え: r = 1.142 cm

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

加速後の速さ

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·500/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 218876 m/s

磁場中での半径

r = mv/(|q|B) = 0.01142 m = 1.142 cm

答え

r = 1.142 cm

まとめると r = √(2mV/|q|)/B となり、電荷が同じなら重いイオンほど大きな円を描きます。これで同位体を分離します。

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 119.4 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = 7.54 Ω, XC = 56.44 Ω

インピーダンス

|Z| = √(25² + (−48.9)²) = 54.92 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 120/54.92 = 2.185 A
P = I²·R = 2.185²·25 = 119.4 W

答え

P = 119.4 W
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 3183 Hz

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振周波数

f0 = 1/(2π·√(0.001·0.047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.001/(0.047·10⁻⁶)) = 7.293

帯域幅

B = f0/Q = 23215/7.293 = 3183 Hz

答え

B = 3183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism