クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
3 つの点電荷が一直線上にある：左に +5 µC、そこから 40 cm 右に −4 µC、その間で左の電荷から 16 cm の位置に −3 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +5 µCqR = −4 µCqM = −3 µCrL = 16 cmrR = 24 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 1 µC はそこから一方の辺に沿って 5 cm の位置に、q₂ = 3 µC はもう一方の辺に沿って 5 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 1 µCq2 = 3 µCq3 = 10 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 12 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
Vs = 6 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
タイマーが t = 0 に、9 V の電源から抵抗を通して充電されていないコンデンサの充電を始める。コンデンサの電圧が 8.1 V に達したとき、開始からちょうど 250 ms 後に作動しなければならない。 C = 1 µF のとき、必要な抵抗 R を求めよ。
Vs = 9 VVth = 8.1 VT = 250 msC = 1 µF
R = kΩ
7.磁場と電磁誘導ふつう
電子 が、2 mT の一様な磁場に垂直に 2 × 10⁶ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。
m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sB = 2 mT
r = cm
8.磁場と電磁誘導むずかしい
Α粒子 が、直交する電場 E = 4 × 10⁴ V/m と磁場 B₁ = 0.5 T をもつ速度選択器を、曲がらずに通り抜けます。そのあと、磁場 B₂ = 1 T だけがある第 2 の領域に直角に入ります。そこでの軌道の半径 r を求めてください。
E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0.5 TB2 = 1 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
L = 5 mH の直列 RLC 回路を 100 Hz で共振させなければならない。必要な静電容量 C を求めよ。
f0 = 100 HzL = 5 mH
C = µF
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 1 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 0.1 µF
VL = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 7.14 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
各電荷からの力
右向きを正とします。
FL = −k·5·3 × 10⁻¹²/0.16² = −5.268 N
FR = −k·4·3 × 10⁻¹²/0.24² = −1.873 N
合力
F = −5.268 + (−1.873) = −7.14 N → |F| = 7.14 N
答え
F = 7.14 N
合力は左向きです。
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 113.7 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·1·10 × 10⁻¹²/0.05² = 35.96 N
F2 = k·3·10 × 10⁻¹²/0.05² = 107.9 N
ベクトル和
F = √(35.96² + 107.9²) = 113.7 N
答え
F = 113.7 N
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.667 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 4 + 5 = 9 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 15/9 = 1.667 A
答え
IR1 = 1.667 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.7602 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 12 + 3 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 12.57 Ω
R2 ∥ 12.57 = 6.839 Ω
Req = R1 + 6.839 = 5 + 6.839 = 11.84 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/11.84 = 0.7602 A
答え
IR1 = 0.7602 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vL = 2.207 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 6/68 = 0.08824 A
コイルの電圧
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/1 = 2.207 V
答え
vL = 2.207 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: R = 108.6 kΩ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
必要な時定数
8.1 = 9·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 8.1))
τ = 250/2.303 = 108.6 ms
抵抗
kΩ × µF でミリ秒になります。
R = τ/C = 108.6/1 = 108.6 kΩ
答え
R = 108.6 kΩ
7.磁場と電磁誘導
答え: r = 0.5686 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力のつり合い
磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 9.109 × 10⁻³¹·2 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.002) = 0.005686 m = 0.5686 cm
答え
r = 0.5686 cm
8.磁場と電磁誘導
答え: r = 0.1659 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
選ばれる速さ
曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。
v = E/B1 = 4 × 10⁴/0.5 = 80000 m/s
第 2 の磁場での半径
r = mv/(|q|B2) = 0.001659 m = 0.1659 cm
答え
r = 0.1659 cm
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: C = 506.6 µF
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628.3²·0.005) = 506.6 µF
答え
C = 506.6 µF
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 14.14 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·0.1·10⁻⁶) = 14142 rad/s
I = V/R = 1/50 = 0.02 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 14142·0.05 = 707.1 Ω
VL = I·XL = 0.02·707.1 = 14.14 V
答え
VL = 14.14 V
これは電源電圧の Q = 14.14 倍です。
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