物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+1 µC と +5 µC の電荷が 40 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+1 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。

q₁ = +1 µCq₂ = +5 µCd = 40 cm

x = cm

2.クーロンの法則と電場むずかしい

電子が 2.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 5 cm、極板間の電場は 4600 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。

v₀ = 2.5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 0.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。電流が 0.05 A まで下がるのにどれだけかかるか。t を求めよ。

i(0) = 0.5 AR = 20 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 120 ms で R₂ を流れる電流 i₂ を求めよ。

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 68 µFt = 120 ms

i₂ = mA

7.磁場と電磁誘導ふつう

250 巻きのコイルの面積は 25 cm² です。コイルに垂直な一様な磁場が、40 ms で 0.1 T から 0.6 T まで一定の割合で増加します。平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 250A = 25 cm²B: 0.1 T → 0.6 TΔt = 40 ms

ε = V

8.磁場と電磁誘導むずかしい

100 巻きの短いコイルが、500 巻き、長さ 30 cm、直径 3 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。ソレノイドの電流は 100 A/s の割合で変化します。短いコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。

N₁ = 500N₂ = 100l = 30 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 100 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 15 Ω、L = 5 mH、C = 0.01 µF である。共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 15 ΩL = 5 mHC = 0.01 µF

Q =

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: x = 12.36 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

電場が等しい

1/x² = 5/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(5/1) = 2.236

位置

x = 40/(1 + 2.236) = 12.36 cm

答え

x = 12.36 cm

電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。

2.クーロンの法則と電場

答え: y = 1.618 mm

極板間にいる時間

t = L/v₀ = 0.05/2.5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

横方向の加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·4600/9.109 × 10⁻³¹ = 8.09 × 10¹⁴ m/s²

たわみ

y = ½·a·t² = ½·8.09 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0.001618 m = 1.618 mm

答え

y = 1.618 mm

電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.9863 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 5·25/(5+25) = 4.167 Ω

R_eq = R₁ + 4.167 = 8 + 4.167 = 12.17 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12.17 = 0.9863 A

答え

I_R1 = 0.9863 A

4.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 24.06 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 4 + 15 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 6.552 Ω

R₃ + 6.552 = 21.55 Ω

R₂ ∥ 21.55 = 4.058 Ω

R_eq = R₁ + 4.058 = 20 + 4.058 = 24.06 Ω

答え

R_eq = 24.06 Ω

5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 5.411 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2.35 ms

時間について解く

0.05 = 0.5·e^−t/τ → t = τ·ln(0.5/0.05)

t = 2.35·ln(10) = 5.411 ms

答え

t = 5.411 ms

6.RC・RL 過渡現象

答え: i₂ = 0.2205 mA

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 6·2.2/(10 + 2.2) = 1.082 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 2.2·68 = 149.6 ms

放電

v_C(t) = 1.082·e^−120/149.6 = 0.4851 V

i₂ = v_C/R₂ = 0.4851/2.2 = 0.2205 mA

答え

i₂ = 0.2205 mA

7.磁場と電磁誘導

答え: ε = 7.813 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = (0.6 − 0.1)·0.0025 = 0.00125 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 250·0.00125/0.04 = 7.813 V

答え

ε = 7.813 V

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 14.8 mV

相互インダクタンス

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·100·0.0007069/0.3 = 148 µH

誘導起電力

ε = M·di/dt = 0.000148·100 = 14.8 mV

答え

ε = 14.8 mV

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.3645 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−25.55)²) = 27.44 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/27.44 = 0.3645 A

答え

I = 0.3645 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 47.14

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.005·0.01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.005/(0.01·10⁻⁶)) = 47.14

答え

Q = 47.14

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