クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+10 µC の電荷と +1 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 4 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +10 µCq2 = +1 µCr1 = 4 cmr2 = 6 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+3 µC と −3 µC の電荷が 20 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 3 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +3 µCq2 = −3 µCd = 20 cmh = 3 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。
Vs = 12 VR1 = 6.8 kΩR2 = 2.2 kΩC = 100 µF
τ = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 150 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 15 VR1 = 4.7 kΩR2 = 6.8 kΩC = 47 µFt = 150 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
12 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 12 A と 2 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。
I1 = 12 AI2 = 2 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
200 mH のインダクタの電流が、10 ms で 1 A から 2.5 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。
L = 200 mH1 A → 2.5 AΔt = 10 ms
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 20 mH
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 5.369 × 10⁷ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.04² = 5.619 × 10⁷ N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0.06² = 2.497 × 10⁶ N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |5.619 × 10⁷ − 2.497 × 10⁶| = 5.369 × 10⁷ N/C
答え
E = 5.369 × 10⁷ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 4.74 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(10² + 3²) = 10.44 cm
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.1044² = 2.474 × 10⁶ N/C
成分
二等分線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(a/r) = 2·2.474 × 10⁶·0.9578 = 4.74 × 10⁶ N/C
答え
E = 4.74 × 10⁶ N/C
電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.988 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 6·35/(6+35) = 5.122 Ω
Req = R1 + 5.122 = 5 + 5.122 = 10.12 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/10.12 = 0.988 A
答え
IR1 = 0.988 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.4991 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 30 + 12 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 9.333 Ω
R3 + 9.333 = 29.33 Ω
R2 ∥ 29.33 = 4.981 Ω
Req = R1 + 4.981 = 5 + 4.981 = 9.981 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/9.981 = 0.6011 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.6011·5 = 2.994 V
IR2 = VA/R2 = 2.994/6 = 0.4991 A
答え
IR2 = 0.4991 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: τ = 166.2 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·2.2/(6.8 + 2.2) = 1.662 kΩ
vC(∞) = 12·2.2/(6.8 + 2.2) = 2.933 V
時定数
τ = Rth·C = 1.662·100 = 166.2 ms
答え
τ = 166.2 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 5.547 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサの初期電圧
定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。
vC(0) = 15·6.8/(4.7 + 6.8) = 8.87 V
スイッチが開いた後の時定数
τ = R2·C = 6.8·47 = 319.6 ms
放電
vC(t) = 8.87·e−150/319.6 = 5.547 V
答え
vC = 5.547 V
7.磁場と電磁誘導
答え: F/L = 40 µN/m
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
1 メートルあたりの力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·12·2/0.12 = 40 µN/m
答え
F/L = 40 µN/m
同じ向きの電流は引き合います。
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 30 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
自己誘導起電力
起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。
ε = L·ΔI/Δt = 0.2·1.5/0.01 = 30 V
答え
ε = 30 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 52.98 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·60·0.02 = 7.54 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 230/10 = 23 A
IX = V/XL = 230/7.54 = 30.5 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(23² + 30.5²) = 38.2 A
位相角
コイルの電流は V より遅れるので、全電流も遅れ、角度は正です。
φ = arctan(IX/IR) = arctan(30.5/23) = 52.98°
答え
φ = 52.98°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 25.38 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−113)²) = 114 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 24/114 = 0.2105 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.2105·120.6 = 25.38 V
答え
VC = 25.38 V
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