クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+2 µC と +8 µC の電荷が 60 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+2 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。
q1 = +2 µCq2 = +8 µCd = 60 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 1.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 5 cm、極板間の電場は 2300 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 2300 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 30 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 ΩR5 = 3 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
Vs = 12 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
タイマーが t = 0 に、5 V の電源から抵抗を通して充電されていないコンデンサの充電を始める。コンデンサの電圧が 3 V に達したとき、開始からちょうど 25 ms 後に作動しなければならない。 C = 100 µF のとき、必要な抵抗 R を求めよ。
Vs = 5 VVth = 3 VT = 25 msC = 100 µF
R = kΩ
7.磁場と電磁誘導ふつう
長さ 20 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.6 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 10 m/s で滑ります。レールは 2 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。抵抗で消費される電力 P を求めてください。
B = 0.6 TL = 20 cmv = 10 m/sR = 2 Ω
P = mW
8.磁場と電磁誘導むずかしい
5 mH のインダクタの電流が、1 ms で 1 A から 1.5 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。
L = 5 mH1 A → 1.5 AΔt = 1 ms
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
C = 47 µF の直列 RLC 回路を 50 Hz で共振させなければならない。必要なインダクタンス L を求めよ。
f0 = 50 HzC = 47 µF
L = mH
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 200 HzR1 = 20 ΩR2 = 80 ΩC = 10 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: x = 20 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
電場が等しい
2/x² = 8/(60 − x)²
(60 − x)/x = √(8/2) = 2
位置
x = 60/(1 + 2) = 20 cm
答え
x = 20 cm
電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 2.247 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.05/1.5 × 10⁷ = 3.333 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2300/9.109 × 10⁻³¹ = 4.045 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·4.045 × 10¹⁴·(3.333 × 10⁻⁹)² = 0.002247 m = 2.247 mm
答え
y = 2.247 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 12 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 4 + 4 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 8 + 4 = 12 Ω
答え
Req = 12 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 11.18 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 3 + 5 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4.444 Ω
R3 + 4.444 = 9.444 Ω
R2 ∥ 9.444 = 7.183 Ω
Req = R1 + 7.183 = 4 + 7.183 = 11.18 Ω
答え
Req = 11.18 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: vL = 0.4426 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms
i(∞) = Vs/R = 12/33 = 0.3636 A
コイルの電圧
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−1/0.303 = 0.4426 V
答え
vL = 0.4426 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: R = 0.2728 kΩ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
必要な時定数
3 = 5·(1 − e−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 3))
τ = 25/0.9163 = 27.28 ms
抵抗
kΩ × µF でミリ秒になります。
R = τ/C = 27.28/100 = 0.2728 kΩ
答え
R = 0.2728 kΩ
7.磁場と電磁誘導
答え: P = 720 mW
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
運動起電力
ε = BLv = 0.6·0.2·10 = 1.2 V
電流
I = ε/R = 1.2/2 = 0.6 A
電力
P = εI = 1.2·0.6 = 0.72 W
答え
P = 720 mW
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 2.5 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
自己誘導起電力
起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。
ε = L·ΔI/Δt = 0.005·0.5/0.001 = 2.5 V
答え
ε = 2.5 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: L = 215.6 mH
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·50 = 314.2 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314.2²·47·10⁻⁶) = 215.6 mH
答え
L = 215.6 mH
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.1668 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 39.79 − j40 Ω
合成インピーダンス
Z = 20 + 39.79 − j40 = 59.79 − j40 Ω
|Z| = √(59.79² + 40²) = 71.93 Ω
電流
I = V/|Z| = 12/71.93 = 0.1668 A
答え
I = 0.1668 A
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