物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が +10 µC と +8 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 40 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = +8 µCr = 40 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 2 µC はそこから一方の辺に沿って 10 cm の位置に、q₂ = 10 µC はもう一方の辺に沿って 4 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 2 µCq₂ = 10 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 30 V に充電されている。 t = 60 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 30 Vt = 60 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

5 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 8 A と 12 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。

I₁ = 8 AI₂ = 12 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.磁場と電磁誘導むずかしい

空芯の長いソレノイドの巻き数は 2000、長さは 25 cm、直径は 1 cm です。その自己インダクタンス L を求めてください。

N = 2000l = 25 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

L = 10 mH の直列 RLC 回路を 60 Hz で共振させなければならない。必要な静電容量 C を求めよ。

f₀ = 60 HzL = 10 mH

C = µF

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 4.551 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (10 + 8)/2 = 9 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(9 × 10⁻⁶)²/0.4² = 4.551 N

答え

F = 4.551 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 562.2 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0.1² = 17.98 N

F₂ = k·10·10 × 10⁻¹²/0.04² = 561.9 N

ベクトル和

F = √(17.98² + 561.9²) = 562.2 N

答え

F = 562.2 N

3.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 7.833 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1.833 Ω

R_eq = R₁ + 1.833 = 6 + 1.833 = 7.833 Ω

答え

R_eq = 7.833 Ω

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.101 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 2 + 15 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 4.435 Ω

R₃ + 4.435 = 7.435 Ω

R₂ ∥ 7.435 = 5.42 Ω

R_eq = R₁ + 5.42 = 8 + 5.42 = 13.42 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/13.42 = 0.3726 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.3726·8 = 2.019 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.019/20 = 0.101 A

答え

I_R2 = 0.101 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: W(∞) = 12.5 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0.5 A

蓄積エネルギー

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.5² = 12.5 mJ

答え

W(∞) = 12.5 mJ

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 20.53 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(60) = 9 + (21)·e^−60/100 = 20.53 V

答え

v_C = 20.53 V

7.磁場と電磁誘導

答え: F/L = 384 µN/m

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

1 メートルあたりの力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·12/0.05 = 384 µN/m

答え

F/L = 384 µN/m

同じ向きの電流は引き合います。

8.磁場と電磁誘導

答え: L = 1.579 mH

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

断面

A = π·(0.005)² = 7.854 × 10⁻⁵ m²

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·7.854 × 10⁻⁵/0.25 = 0.001579 H = 1.579 mH

答え

L = 1.579 mH

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: C = 703.6 µF

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振条件

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0.01) = 703.6 µF

答え

C = 703.6 µF

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 0.5022 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (150.3)²) = 161.8 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/161.8 = 0.07415 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.07415·6.773 = 0.5022 V

答え

V_C = 0.5022 V

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