物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+10 µC と +1 µC の電荷が 30 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+10 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。

q₁ = +10 µCq₂ = +1 µCd = 30 cm

x = cm

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 5 µC はそこから一方の辺に沿って 5 cm の位置に、q₂ = 3 µC はもう一方の辺に沿って 10 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 5 µCq₂ = 3 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 10 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 10 ms

W = mJ

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R₂ を短絡する。 t = 10 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩL = 68 mHt = 10 ms

i = A

7.磁場と電磁誘導ふつう

長さ 50 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.4 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 8 m/s で滑ります。レールは 2 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。棒を一定の速さで動かし続けるのに必要な力 F を求めてください（摩擦はありません）。

B = 0.4 TL = 50 cmv = 8 m/sR = 2 Ω

F = mN

8.磁場と電磁誘導むずかしい

250 巻き、5 cm × 25 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.25 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 86.78 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？

N = 250A = 5 cm × 25 cmB = 0.25 TE_rms = 86.78 V

n = rpm

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

cos φ =

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 5 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 5 V (rms)R = 5 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_L = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: x = 22.79 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

電場が等しい

10/x² = 1/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(1/10) = 0.3162

位置

x = 30/(1 + 0.3162) = 22.79 cm

答え

x = 22.79 cm

電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 181.8 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·5·10 × 10⁻¹²/0.05² = 179.8 N

F₂ = k·3·10 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N

ベクトル和

F = √(179.8² + 26.97²) = 181.8 N

答え

F = 181.8 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 1.744 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 12·22/(12+22) = 7.765 Ω

R_eq = R₁ + 7.765 = 6 + 7.765 = 13.76 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13.76 = 1.744 A

答え

I_R1 = 1.744 A

4.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 13.85 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 5 + 2 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 4.421 Ω

R₃ + 4.421 = 7.421 Ω

R₂ ∥ 7.421 = 3.85 Ω

R_eq = R₁ + 3.85 = 10 + 3.85 = 13.85 Ω

答え

R_eq = 13.85 Ω

5.RC・RL 過渡現象

答え: W = 4.411 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4.545 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0.2727 A

指定時刻の電流

i(t) = 0.2727·(1 − e^−10/4.545) = 0.2425 A

蓄積エネルギー

W = ½·L·i² = ½·150·0.2425² = 4.411 mJ

答え

W = 4.411 mJ

6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.5937 A

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 12/(20 + 5) = 0.48 A

i(∞) = 12/20 = 0.6 A

τ = L/R = 68/20 = 3.4 ms

i(t) = 0.6 + (0.48 − 0.6)·e^−t/τ

指定時刻の電流

i(10) = 0.6 + (−0.12)·e^−10/3.4 = 0.5937 A

答え

i = 0.5937 A

7.磁場と電磁誘導

答え: F = 160 mN

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

運動起電力

ε = BLv = 0.4·0.5·8 = 1.6 V

電流

I = ε/R = 1.6/2 = 0.8 A

制動力

レンツの法則：誘導電流に働く力は運動を妨げます。

F = BIL = 0.4·0.8·0.5 = 0.16 N

答え

F = 160 mN

8.磁場と電磁誘導

答え: n = 1500 rpm

ピーク起電力

E₀ = √2·E_rms = 122.7 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 122.7/(250·0.25·0.0125) = 157.1 rad/s

毎分回転数

n = 60·157.1/(2π) = 1500 rpm

答え

n = 1500 rpm

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.5421

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 62.83 Ω, X_C = 31.83 Ω

インピーダンス

|Z| = √(20² + (31)²) = 36.89 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 20/36.89 = 0.5421

回路は誘導性なので、力率は遅れです。

答え

cos φ = 0.5421

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 141.4 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·10·10⁻⁶) = 707.1 rad/s

I = V/R = 5/5 = 1 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 707.1·0.2 = 141.4 Ω

V_L = I·X_L = 1·141.4 = 141.4 V

答え

V_L = 141.4 V

これは電源電圧の Q = 28.28 倍です。

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