クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+1 µC と +2 µC の電荷が 20 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+1 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。
q1 = +1 µCq2 = +2 µCd = 20 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 1.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 3 cm、極板間の電場は 3400 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 3400 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 ΩR5 = 5 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。
Vs = 9 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 12 V に充電されている。 t = 300 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 15 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 12 Vt = 300 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
3 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 20 A と 5 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。
I1 = 20 AI2 = 5 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
Α粒子 が静止状態から 2500 V の電位差で加速され、そのあと 0.8 T の一様な磁場に直角に入ります。磁場中での軌道の半径 r を求めてください。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0.8 T
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 24 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。
V = 24 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF
VL = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: x = 8.284 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
電場が等しい
1/x² = 2/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(2/1) = 1.414
位置
x = 20/(1 + 1.414) = 8.284 cm
答え
x = 8.284 cm
電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 1.196 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.03/1.5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3400/9.109 × 10⁻³¹ = 5.98 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·5.98 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0.001196 m = 1.196 mm
答え
y = 1.196 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 5.438 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2.438 Ω
Req = R1 + 2.438 = 3 + 2.438 = 5.438 Ω
答え
Req = 5.438 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 12.61 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 5 + 25 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 12 Ω
R3 + 12 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 2.609 Ω
Req = R1 + 2.609 = 10 + 2.609 = 12.61 Ω
答え
Req = 12.61 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: i = 0.09371 A
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms
i(∞) = Vs/R = 9/50 = 0.18 A
指定時刻の電流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.18·(1 − e−1/1.36) = 0.09371 A
答え
i = 0.09371 A
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 12.78 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 15 + (12 − 15)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(300) = 15 + (−3)·e−300/1000 = 12.78 V
答え
vC = 12.78 V
7.磁場と電磁誘導
答え: F/L = 666.7 µN/m
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
1 メートルあたりの力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·5/0.03 = 666.7 µN/m
答え
F/L = 666.7 µN/m
同じ向きの電流は引き合います。
8.磁場と電磁誘導
答え: r = 1.273 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速後の速さ
v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·2500/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 491003 m/s
磁場中での半径
r = mv/(|q|B) = 0.01273 m = 1.273 cm
答え
r = 1.273 cm
まとめると r = √(2mV/|q|)/B となり、電荷が同じなら重いイオンほど大きな円を描きます。これで同位体を分離します。
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.4448 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−16.75)²) = 22.48 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 10/22.48 = 0.4448 A
答え
I = 0.4448 A
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VL = 175 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·4.7·10⁻⁶) = 1459 rad/s
I = V/R = 24/20 = 1.2 A
コイルの両端の電圧
XL = ω₀L = 1459·0.1 = 145.9 Ω
VL = I·XL = 1.2·145.9 = 175 V
答え
VL = 175 V
これは電源電圧の Q = 7.293 倍です。
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