物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +4 µC、そこから 20 cm 右に +5 µC、その間で左の電荷から 15 cm の位置に +6 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +5 µCq_M = +6 µCr_L = 15 cmr_R = 5 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 8 µC は直角の頂点に、q₁ = 5 µC はそこから一方の辺に沿って 4 cm の位置に、q₂ = 8 µC はもう一方の辺に沿って 8 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 5 µCq₂ = 8 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 9 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 18 V に充電されている。 t = 30 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 Vt = 30 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

50 巻きのコイルの面積は 10 cm² です。コイルが、その面に垂直な 0.5 T の一様な磁場の中で、40 ms で裏返されます（180° 回転します）。平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 50A = 10 cm²B = 0.5 TΔt = 40 ms

ε = V

8.磁場と電磁誘導むずかしい

空芯の長いソレノイドの巻き数は 400、長さは 50 cm、直径は 1.5 cm です。その自己インダクタンス L を求めてください。

N = 400l = 50 cm⌀ = 1.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、50 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 60 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 40 ΩC = 100 µF

I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 98.29 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

F_L = +k·4·6 × 10⁻¹²/0.15² = 9.589 N

F_R = −k·5·6 × 10⁻¹²/0.05² = −107.9 N

合力

F = 9.589 + (−107.9) = −98.29 N → |F| = 98.29 N

答え

F = 98.29 N

合力は左向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 242.1 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·5·8 × 10⁻¹²/0.04² = 224.7 N

F₂ = k·8·8 × 10⁻¹²/0.08² = 89.9 N

ベクトル和

F = √(224.7² + 89.9²) = 242.1 N

答え

F = 242.1 N

3.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 21.51 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 15 + 20 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 8·35/(8+35) = 6.512 Ω

R_eq = R₁ + 6.512 = 15 + 6.512 = 21.51 Ω

答え

R_eq = 21.51 Ω

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.06786 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 2.757 Ω

R₃ + 2.757 = 7.757 Ω

R₂ ∥ 7.757 = 5.589 Ω

R_eq = R₁ + 5.589 = 15 + 5.589 = 20.59 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/20.59 = 0.2428 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.2428·15 = 1.357 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.357/20 = 0.06786 A

答え

I_R2 = 0.06786 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.161 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 9/22 = 0.4091 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.4091·(1 − e^−5/10) = 0.161 A

答え

i = 0.161 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 21.58 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 24 + (18 − 24)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(30) = 24 + (−6)·e^−30/33 = 21.58 V

答え

v_C = 21.58 V

7.磁場と電磁誘導

答え: ε = 1.25 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = 2·0.5·0.001 = 0.001 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.001/0.04 = 1.25 V

答え

ε = 1.25 V

8.磁場と電磁誘導

答え: L = 71.06 µH

断面

A = π·(0.0075)² = 0.0001767 m²

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0.0001767/0.5 = 7.106 × 10⁻⁵ H = 71.06 µH

答え

L = 71.06 µH

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.2921 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−18.74)²) = 82.17 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 24/82.17 = 0.2921 A

答え

I = 0.2921 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.903 A

リアクタンス

X_C = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 12.22 − j18.42 Ω

合成インピーダンス

Z = 40 + 12.22 − j18.42 = 52.22 − j18.42 Ω

|Z| = √(52.22² + 18.42²) = 55.37 Ω

電流

I = V/|Z| = 50/55.37 = 0.903 A

答え

I = 0.903 A

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