物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+2 µC と +8 µC の電荷が 40 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+2 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。

q₁ = +2 µCq₂ = +8 µCd = 40 cm

x = cm

2.クーロンの法則と電場むずかしい

電子が 1 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 6 cm、極板間の電場は 3200 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3200 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 99% に達するか。t を求めよ。

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 33 mH

t = ms

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 3 V に充電されている。 t = 200 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 10 VR = 4.7 kΩC = 100 µFv_C(0) = 3 Vt = 200 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

50 巻きのコイルの面積は 200 cm² です。コイルに垂直な一様な磁場が、20 ms で 0.1 T から 0.6 T まで一定の割合で増加します。平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 50A = 200 cm²B: 0.1 T → 0.6 TΔt = 20 ms

ε = V

8.磁場と電磁誘導むずかしい

空芯の長いソレノイドの巻き数は 1000、長さは 10 cm、直径は 1.5 cm です。1 A が流れているとき、その磁場に蓄えられるエネルギー W を求めてください。

N = 1000l = 10 cm⌀ = 1.5 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコンデンサが並列に、24 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 20 Ω、L = 20 mH、C = 0.047 µF である。共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0.047 µF

Q =

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: x = 13.33 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

電場が等しい

2/x² = 8/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(8/2) = 2

位置

x = 40/(1 + 2) = 13.33 cm

答え

x = 13.33 cm

電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。

2.クーロンの法則と電場

答え: y = 10.13 mm

極板間にいる時間

t = L/v₀ = 0.06/1 × 10⁷ = 6 × 10⁻⁹ s

横方向の加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3200/9.109 × 10⁻³¹ = 5.628 × 10¹⁴ m/s²

たわみ

y = ½·a·t² = ½·5.628 × 10¹⁴·(6 × 10⁻⁹)² = 0.01013 m = 10.13 mm

答え

y = 10.13 mm

電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.5431 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 10·32/(10+32) = 7.619 Ω

R_eq = R₁ + 7.619 = 20 + 7.619 = 27.62 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/27.62 = 0.5431 A

答え

I_R1 = 0.5431 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.2855 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 5.652 Ω

R₃ + 5.652 = 13.65 Ω

R₂ ∥ 13.65 = 4.168 Ω

R_eq = R₁ + 4.168 = 8 + 4.168 = 12.17 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/12.17 = 0.4109 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.4109·8 = 1.713 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.713/6 = 0.2855 A

答え

I_R2 = 0.2855 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 3.233 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0.1915 A

時間について解く

0.99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)

t = −0.7021·ln(0.01) = 3.233 ms

答え

t = 3.233 ms

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 5.426 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms

v_C(t) = 10 + (3 − 10)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(200) = 10 + (−7)·e^−200/470 = 5.426 V

答え

v_C = 5.426 V

7.磁場と電磁誘導

答え: ε = 25 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = (0.6 − 0.1)·0.02 = 0.01 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.01/0.02 = 25 V

答え

ε = 25 V

8.磁場と電磁誘導

答え: W = 1.11 mJ

自己インダクタンス

L = μ₀N²A/l = 2.221 mH

蓄積エネルギー

W = ½LI² = ½·0.002221·1² = 0.00111 J = 1.11 mJ

答え

W = 1.11 mJ

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 15.38 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 24/60 = 0.4 A

I_X = V/X_C = 24/15.92 = 1.508 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.4² + 1.508²) = 1.56 A

インピーダンス

|Z| = V/I = 24/1.56 = 15.38 Ω

答え

|Z| = 15.38 Ω

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 32.62

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.02·0.047·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.02/(0.047·10⁻⁶)) = 32.62

答え

Q = 32.62

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