物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が −4 µC と −3 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 20 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −4 µCq₂ = −3 µCr = 20 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

それぞれ質量 5 g の 2 つの同じ小球が、長さ 30 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 15° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 30 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 75% に達するか。t を求めよ。

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 68 mH

t = ms

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R₂ を短絡する。 t = 1 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

V_s = 9 VR₁ = 47 ΩR₂ = 15 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

7.磁場と電磁誘導ふつう

50 巻き、面積 40 cm²、抵抗 20 Ω のコイルが閉回路をつくっています。コイルに垂直な一様な磁場が、10 ms で 0 T から 0.1 T まで一定の割合で増加します。平均誘導電流 I を求めてください。

N = 50A = 40 cm²B: 0 T → 0.1 TΔt = 10 msR = 20 Ω

I = mA

8.磁場と電磁誘導むずかしい

250 巻き、15 cm × 25 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.05 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 62.48 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？

N = 250A = 15 cm × 25 cmB = 0.05 TE_rms = 62.48 V

n = rpm

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコイルが並列に、230 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。電流の実効値 I を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mH

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

V_C = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 2.753 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (−4 + −3)/2 = −3.5 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(3.5 × 10⁻⁶)²/0.2² = 2.753 N

答え

F = 2.753 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: q = 187.8 nC

つり合いからの電気力

張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 15° = 0.01314 N

間隔

r = 2·L·sin θ = 2·0.3·sin 15° = 0.1553 m

電荷

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1553·√(0.01314/8.99 × 10⁹) = 1.878 × 10⁻⁷ C = 187.8 nC

答え

q = 187.8 nC

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.6462 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_eq = R₁ + 4.286 = 5 + 4.286 = 9.286 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/9.286 = 0.6462 A

答え

I_R1 = 0.6462 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 1.189 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 4.359 Ω

R₃ + 4.359 = 29.36 Ω

R₂ ∥ 29.36 = 4.982 Ω

R_eq = R₁ + 4.982 = 2 + 4.982 = 6.982 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/6.982 = 1.432 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1.432·2 = 7.135 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.135/6 = 1.189 A

答え

I_R2 = 1.189 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 1.885 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0.1 A

時間について解く

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −1.36·ln(0.25) = 1.885 ms

答え

t = 1.885 ms

6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.1803 A

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 9/(47 + 15) = 0.1452 A

i(∞) = 9/47 = 0.1915 A

τ = L/R = 33/47 = 0.7021 ms

i(t) = 0.1915 + (0.1452 − 0.1915)·e^−t/τ

指定時刻の電流

i(1) = 0.1915 + (−0.04633)·e^−1/0.7021 = 0.1803 A

答え

i = 0.1803 A

7.磁場と電磁誘導

答え: I = 100 mA

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = (0.1 − 0)·0.004 = 0.0004 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.0004/0.01 = 2 V

電流

I = ε/R = 2/20 = 0.1 A

答え

I = 100 mA

8.磁場と電磁誘導

答え: n = 1800 rpm

ピーク起電力

E₀ = √2·E_rms = 88.36 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 88.36/(250·0.05·0.0375) = 188.5 rad/s

毎分回転数

n = 60·188.5/(2π) = 1800 rpm

答え

n = 1800 rpm

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 11.76 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = ωL = 2π·50·0.1 = 31.42 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 230/25 = 9.2 A

I_X = V/X_L = 230/31.42 = 7.321 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(9.2² + 7.321²) = 11.76 A

答え

I = 11.76 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 17.27 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−213)²) = 235.3 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/235.3 = 0.051 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.051·338.6 = 17.27 V

答え

V_C = 17.27 V

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