物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++1 µC−−2 µCP60 cm

+1 µC の電荷と −2 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 45 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q1 = +1 µCq2 = −2 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
10 cm8 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +2 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 4 µC は直角の頂点に、q₁ = 5 µC はそこから一方の辺に沿って 10 cm の位置に、q₂ = 2 µC はもう一方の辺に沿って 8 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 5 µCq2 = 2 µCq3 = 4 µCr13 = 10 cmr23 = 8 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​12 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 ΩR5 = 10 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 ΩL150 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 10 ms における電流 i を求めよ。

Vs = 5 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​5 Vt = 0R = 4.7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 18 V に充電されている。 t = 120 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 5 VR = 4.7 kΩC = 22 µFvC(0) = 18 Vt = 120 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
R = 1 Ωv = 6 m/sL = 40 cmB = 1 T

長さ 40 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 1 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 6 m/s で滑ります。レールは 1 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。抵抗で消費される電力 P を求めてください。

B = 1 TL = 40 cmv = 6 m/sR = 1 Ω
P = W
8.磁場と電磁誘導むずかしい
Bn = 600 rpm10 cm × 20 cmN = 50B = 0.1 T

50 巻き、10 cm × 20 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.1 T の一様な磁場の中で 600 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。

N = 50A = 10 cm × 20 cmB = 0.1 Tn = 600 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
24 V60 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 47 µFI

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 47 µF
cos φ =
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
12 V50 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 40 ΩC = 22 µFI

抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、12 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR1 = 50 ΩR2 = 40 ΩC = 22 µF
I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 843506 N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E1 = k·1 × 10⁻⁶/0.45² = 44395 N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.15² = 799111 N/C

向きと合成

1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。

E = |44395 + 799111| = 843506 N/C

答え

E = 843506 N/C
2.クーロンの法則と電場

答え: F = 21.2 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·5·4 × 10⁻¹²/0.1² = 17.98 N
F2 = k·2·4 × 10⁻¹²/0.08² = 11.24 N

ベクトル和

F = √(17.98² + 11.24²) = 21.2 N

答え

F = 21.2 N
3.抵抗の直列・並列

答え: Req = 10.24 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 12 + 2 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω
Req = R1 + 8.235 = 2 + 8.235 = 10.24 Ω

答え

Req = 10.24 Ω
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 13.97 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​12 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 10 + 12 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 5.867 Ω
R3 + 5.867 = 11.87 Ω
R2 ∥ 11.87 = 5.966 Ω
Req = R1 + 5.966 = 8 + 5.966 = 13.97 Ω

答え

Req = 13.97 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.2433 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms
i(∞) = Vs/R = 5/10 = 0.5 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.5·(1 − e−10/15) = 0.2433 A

答え

i = 0.2433 A
6.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 9.073 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms
vC(t) = 5 + (18 − 5)·e−t/τ

指定時刻の電圧

vC(120) = 5 + (13)·e−120/103.4 = 9.073 V

答え

vC = 9.073 V
7.磁場と電磁誘導

答え: P = 5.76 W

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

運動起電力

ε = BLv = 1·0.4·6 = 2.4 V

電流

I = ε/R = 2.4/1 = 2.4 A

電力

P = εI = 2.4·2.4 = 5.76 W

答え

P = 5.76 W
8.磁場と電磁誘導

答え: E0 = 6.283 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

角速度と面積

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s
A = 0.02 m²

ピーク起電力

E₀ = NBAω = 50·0.1·0.02·62.83 = 6.283 V

答え

E0 = 6.283 V
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.4708

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = 37.7 Ω, XC = 56.44 Ω

インピーダンス

|Z| = √(10² + (−18.74)²) = 21.24 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 10/21.24 = 0.4708
回路は容量性なので、力率は進みです。

答え

cos φ = 0.4708
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.1367 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 37.16 − j10.27 Ω

合成インピーダンス

Z = 50 + 37.16 − j10.27 = 87.16 − j10.27 Ω
|Z| = √(87.16² + 10.27²) = 87.76 Ω

電流

I = V/|Z| = 12/87.76 = 0.1367 A

答え

I = 0.1367 A

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