クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+5 µC の電荷と +10 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 30 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +5 µCq2 = +10 µCr1 = 30 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+8 µC と +8 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 3 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +8 µCq2 = +8 µCd = 10 cmh = 3 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 8 ΩR5 = 15 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。
Vs = 15 VR = 50 ΩL = 150 mH
W(∞) = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 4 V に充電されている。 vC が 4.6 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 6 VR = 3.3 kΩC = 47 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
正方形のループが右へ動き、紙面の手前向き の一様な磁場のある領域に入ります。ループが磁場に入っている間の、図で見たループの誘導電流の向きをクリックしてください。
B: 紙面の手前向き磁場に入っている途中
- 1時計回り
- 2反時計回り
8.磁場と電磁誘導むずかしい
100 巻き、10 cm × 25 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.3 T の一様な磁場の中で 900 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。
N = 100A = 10 cm × 25 cmB = 0.3 Tn = 900 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、12 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 60 HzR1 = 15 ΩR2 = 50 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 499444 N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.3² = 499444 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.3² = 998889 N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |499444 − 998889| = 499444 N/C
答え
E = 499444 N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 2.177 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(5² + 3²) = 5.831 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.05831² = 2.115 × 10⁷ N/C
成分
電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(h/r) = 2·2.115 × 10⁷·0.5145 = 2.177 × 10⁷ N/C
答え
E = 2.177 × 10⁷ N/C
電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.8482 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 15 + 2 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1.789 Ω
Req = R1 + 1.789 = 10 + 1.789 = 11.79 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/11.79 = 0.8482 A
答え
IR1 = 0.8482 A
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 21.94 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 15 + 4 = 19 Ω
R4 ∥ 19 = 5.63 Ω
R3 + 5.63 = 10.63 Ω
R2 ∥ 10.63 = 6.941 Ω
Req = R1 + 6.941 = 15 + 6.941 = 21.94 Ω
答え
Req = 21.94 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: W(∞) = 6.75 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0.3 A
蓄積エネルギー
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0.3² = 6.75 mJ
答え
W(∞) = 6.75 mJ
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 55.32 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms
vC(t) = 6 + (4 − 6)·e−t/τ
時間について解く
4.6 = 6 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (4.6 − 6)/(4 − 6) = 0.7
t = τ·ln((4 − 6)/(4.6 − 6)) = 155.1·ln(1.429) = 55.32 ms
答え
t = 55.32 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: 時計回り
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
磁束の変化
紙面の手前向きの磁束が増えるか、紙面の奥向きの磁束が減ります。
誘導電流がつくる磁場
誘導電流は変化を妨げます。
ループ内側の誘導磁場：紙面の奥向き。
電流の向き
右手の法則：反時計回りの電流は、ループの内側に紙面の手前向きの磁場をつくります。
時計回り
答え
時計回り
8.磁場と電磁誘導
答え: E0 = 70.69 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.025 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 100·0.3·0.025·94.25 = 70.69 V
答え
E0 = 70.69 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −64.85 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−106.5)²) = 117.6 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−106.5/50) = −64.85°
答え
φ = −64.85°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 33.22 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 10.98 − j20.7 Ω
合成インピーダンス
Z = 15 + 10.98 − j20.7 = 25.98 − j20.7 Ω
|Z| = √(25.98² + 20.7²) = 33.22 Ω
答え
|Z| = 33.22 Ω
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