クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+5 µC の電荷と +6 µC の電荷が 40 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 10 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +5 µCq2 = +6 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
それぞれ質量 10 g の 2 つの同じ小球が、長さ 80 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 12° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 10 gL = 80 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 25 ΩR5 = 3 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
Vs = 6 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 6 V に充電されている。 vC が 17.2 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 20 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
導線に 左向き の電流が流れ、紙面の奥向き の一様な磁場の中にあります。導線に働く磁気力の向きをクリックしてください。
I: 左向きB: 紙面の奥向き
- 1紙面の上向き
- 2右向き
- 3紙面の下向き
- 4左向き
8.磁場と電磁誘導むずかしい
Α粒子 が、直交する電場 E = 5 × 10⁴ V/m と磁場 B₁ = 0.2 T をもつ速度選択器を、曲がらずに通り抜けます。そのあと、磁場 B₂ = 0.2 T だけがある第 2 の領域に直角に入ります。そこでの軌道の半径 r を求めてください。
E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0.2 TB2 = 0.2 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 100 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 3.896 × 10⁶ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.1² = 4.495 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0.3² = 599333 N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |4.495 × 10⁶ − 599333| = 3.896 × 10⁶ N/C
答え
E = 3.896 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: q = 506.6 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
つり合いからの電気力
張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。
F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 12° = 0.02085 N
間隔
r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 12° = 0.3327 m
電荷
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.3327·√(0.02085/8.99 × 10⁹) = 5.066 × 10⁻⁷ C = 506.6 nC
答え
q = 506.6 nC
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 12.86 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 6 + 4 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Req = R1 + 2.857 = 10 + 2.857 = 12.86 Ω
答え
Req = 12.86 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.8781 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 3 + 30 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 14.22 Ω
R3 + 14.22 = 19.22 Ω
R2 ∥ 19.22 = 7.388 Ω
Req = R1 + 7.388 = 4 + 7.388 = 11.39 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/11.39 = 0.8781 A
答え
IR1 = 0.8781 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vL = 2.207 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 6/33 = 0.1818 A
コイルの電圧
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/1 = 2.207 V
答え
vL = 2.207 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 109.4 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 20 + (6 − 20)·e−t/τ
時間について解く
17.2 = 20 + (−14)·e−t/τ → e−t/τ = (17.2 − 20)/(6 − 20) = 0.2
t = τ·ln((6 − 20)/(17.2 − 20)) = 68·ln(5) = 109.4 ms
答え
t = 109.4 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: 紙面の下向き
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手の法則
指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。
I: 左向き, B: 紙面の奥向き
力の向き
紙面の下向き
答え
F: 紙面の下向き
8.磁場と電磁誘導
答え: r = 2.592 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
選ばれる速さ
曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。
v = E/B1 = 5 × 10⁴/0.2 = 250000 m/s
第 2 の磁場での半径
r = mv/(|q|B2) = 0.02592 m = 2.592 cm
答え
r = 2.592 cm
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −85.91 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·2.2·10⁻⁶) = 1447 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−1400)²) = 1403 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−1400/100) = −85.91°
答え
φ = −85.91°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 10.06 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (30.02)²) = 31.64 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 12/31.64 = 0.3792 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.3792·26.53 = 10.06 V
答え
VC = 10.06 V
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