クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+3 µC の電荷と −3 µC の電荷が 50 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 25 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +3 µCq2 = −3 µCr1 = 25 cmr2 = 25 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 4 µC は直角の頂点に、q₁ = 5 µC はそこから一方の辺に沿って 10 cm の位置に、q₂ = 10 µC はもう一方の辺に沿って 3 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 5 µCq2 = 10 µCq3 = 4 µCr13 = 10 cmr23 = 3 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 36 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 30 ΩR5 = 5 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
Vs = 5 VR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 18 V に充電されている。 vC が 14.4 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 6 VR = 3.3 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
5 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、逆向きに 12 A と 8 A の電流が流れています。両者のちょうど中間の点 P での磁束密度の大きさ B を求めてください。
I1 = 12 AI2 = 8 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁場と電磁誘導むずかしい
200 巻き、12 cm × 10 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.4 T の一様な磁場の中で 900 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。
N = 200A = 12 cm × 10 cmB = 0.4 Tn = 900 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 863040 N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.25² = 431520 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.25² = 431520 N/C
向きと合成
1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。
E = |431520 + 431520| = 863040 N/C
答え
E = 863040 N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 400 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·5·4 × 10⁻¹²/0.1² = 17.98 N
F2 = k·10·4 × 10⁻¹²/0.03² = 399.6 N
ベクトル和
F = √(17.98² + 399.6²) = 400 N
答え
F = 400 N
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 14.24 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 8·9/(8+9) = 4.235 Ω
Req = R1 + 4.235 = 10 + 4.235 = 14.24 Ω
答え
Req = 14.24 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 8.833 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 5 + 10 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 10 Ω
R3 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 5.833 Ω
Req = R1 + 5.833 = 3 + 5.833 = 8.833 Ω
答え
Req = 8.833 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: vL = 0.2415 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0.33 ms
i(∞) = Vs/R = 5/100 = 0.05 A
コイルの電圧
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−1/0.33 = 0.2415 V
答え
vL = 0.2415 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 55.32 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ
時間について解く
14.4 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (14.4 − 6)/(18 − 6) = 0.7
t = τ·ln((18 − 6)/(14.4 − 6)) = 155.1·ln(1.429) = 55.32 ms
答え
t = 55.32 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: B = 160 µT
電流がつくる磁場：長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になり（右手の法則）、B = μ₀I/(2πr) です。N 巻きの平らな円形コイルの中心では B = μ₀NI/(2R) です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によらず B = μ₀nI、n = N/L は 1 メートルあたりの巻き数です。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。SI 単位（メートルとアンペア）で計算し、複数の源による磁場はベクトルとして足します。
P での各導線の磁場
B1 = 2 × 10⁻⁷·12/0.025 = 96 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·8/0.025 = 64 µT
組み合わせる
B = B₁ + B₂ = 160 µT
答え
B = 160 µT
8.磁場と電磁誘導
答え: E0 = 90.48 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.012 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 200·0.4·0.012·94.25 = 90.48 V
答え
E0 = 90.48 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = 80.07 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (456.8)²) = 463.7 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(456.8/80) = 80.07°
答え
φ = 80.07°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.1844 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.2 = 75.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−45.17)²) = 54.23 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 10/54.23 = 0.1844 A
答え
I = 0.1844 A
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