クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
2 つの同じ小さな金属球が +2 µC と −4 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 10 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +2 µCq2 = −4 µCr = 10 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+1 µC と +1 µC の電荷が 12 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 6 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +1 µCq2 = +1 µCd = 12 cmh = 6 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩR3 = 2 ΩR4 = 25 ΩR5 = 3 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
コイルには 2.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 5 ms での R の両端電圧 vR を求めよ。
i(0) = 2.5 AR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms
vR = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 5 V に充電されている。 vC が 6.6 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 9 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 5 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
10 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、同じ向きに 20 A と 2 A の電流が流れています。両者の間に働く長さ 1 メートルあたりの力 F/L を求めてください。
I1 = 20 AI2 = 2 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁場と電磁誘導むずかしい
100 巻き、12 cm × 15 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.2 T の一様な磁場の中で回転します。実効値 7.997 V の起電力を得るには、どれだけの回転数 n（毎分回転数）で回す必要がありますか？
N = 100A = 12 cm × 15 cmB = 0.2 TErms = 7.997 V
n = rpm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、50 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 1 Ω、L = 1 mH、C = 0.22 µF である。 帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。
R = 1 ΩL = 1 mHC = 0.22 µF
B = Hz
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 0.899 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触後の電荷
q′ = (2 + −4)/2 = −1 µC
新しい力
F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.1² = 0.899 N
答え
F = 0.899 N
両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.766 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(6² + 6²) = 8.485 cm
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0.08485² = 1.249 × 10⁶ N/C
成分
電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(h/r) = 2·1.249 × 10⁶·0.7071 = 1.766 × 10⁶ N/C
答え
E = 1.766 × 10⁶ N/C
電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 11.3 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 10·27/(10+27) = 7.297 Ω
Req = R1 + 7.297 = 4 + 7.297 = 11.3 Ω
答え
Req = 11.3 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.927 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 3 + 3 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 4.839 Ω
R3 + 4.839 = 6.839 Ω
R2 ∥ 6.839 = 5.569 Ω
Req = R1 + 5.569 = 10 + 5.569 = 15.57 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 30/15.57 = 1.927 A
答え
IR1 = 1.927 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vR = 10.26 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数
τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms
電流の減衰
i(t) = 2.5·e−5/2 = 0.2052 A
vR = R·i = 50·0.2052 = 10.26 V
答え
vR = 10.26 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 37.09 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 9 + (5 − 9)·e−t/τ
時間について解く
6.6 = 9 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (6.6 − 9)/(5 − 9) = 0.6
t = τ·ln((5 − 9)/(6.6 − 9)) = 72.6·ln(1.667) = 37.09 ms
答え
t = 37.09 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: F/L = 80 µN/m
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
1 メートルあたりの力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·2/0.1 = 80 µN/m
答え
F/L = 80 µN/m
同じ向きの電流は引き合います。
8.磁場と電磁誘導
答え: n = 300 rpm
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
ピーク起電力
E₀ = √2·Erms = 11.31 V
角速度
ω = E₀/(NBA) = 11.31/(100·0.2·0.018) = 31.42 rad/s
毎分回転数
n = 60·31.42/(2π) = 300 rpm
答え
n = 300 rpm
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 19.27 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·200·0.02 = 25.13 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 50/30 = 1.667 A
IX = V/XL = 50/25.13 = 1.989 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(1.667² + 1.989²) = 2.595 A
インピーダンス
|Z| = V/I = 50/2.595 = 19.27 Ω
答え
|Z| = 19.27 Ω
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: B = 159.2 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.001·0.22·10⁻⁶)) = 10730 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0.001/(0.22·10⁻⁶)) = 67.42
帯域幅
B = f0/Q = 10730/67.42 = 159.2 Hz
答え
B = 159.2 Hz
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